[MP] Série

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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Hiruma
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[MP] Série

Message par Hiruma »

Bonjour,

Je n'arrive pas du tout à résoudre cet exercice : Pour quelle valeus de $\alpha$, $\sum v_n$ est convergente ?

$v_n = \dfrac{1}{n^{\alpha}} - \dfrac{1}{{(n+1)}^{\alpha}}$ , $\alpha \in \R$

Pour $\alpha > -1$ pas de problème avec ce développement asymptotique :

$v_n = \alpha \dfrac{1}{n^{\alpha+1}} - \dfrac{\alpha (\alpha +1)}{2} \dfrac{1}{n^{\alpha+2}} + o\left(\dfrac{1}{n^{\alpha+2}}\right)$

Je trouve que $\sum v_n$ est convergente pour $\alpha \ge 0$ et divergente pour $-1 < \alpha < 0$. Pour $\alpha \in -\N^*$ c'est simple, mais le reste je ne vois pas. J'ai pensé à posé $\beta = -\alpha$, faire des développement asymptotique, voir si $v_n$ ne converge pas vers 0, sans résultat... Merci de votre soutien.

NB : J'ai le meme problème avec $w_n = \dfrac{1}{n^{\alpha}} - \dfrac{2}{{(n+1)}^{\alpha}} + \dfrac{1}{{(n+2)}^{\alpha}}$

lafayette
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Re: [MP] Série

Message par lafayette »

Bonjour, étant donnée la définition de $v_n = \dfrac{1}{n^{\alpha}} - \dfrac{1}{{(n+1)}^{\alpha}}$ , $\alpha \in \R$, tu peux exprimer explicitement les sommes partielles issues de $\sum v_n$ donc conclure quand à la convergence ($v_{n}$ est une suite téléscopique !).
Même idée pour $w_n$...

guiguiche
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Re: [MP] Série

Message par guiguiche »

Théorème : La suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum{(u_{n+1}-u_n)}$ converge. Preuve : par télescopage comme mentionné plus haut.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

Hiruma
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Re: [MP] Série

Message par Hiruma »

Merci, ça marche bien. :mrgreen:

Par contre pour $w_n$ je bloque encore pour $\alpha < 0$. J'ai prouvé que $\sum v_n$ converge ssi $\alpha \ge 0$ donc $(v_n)$ converge si $\alpha \ge 0$ et alors $\sum - (v_n - v_{n+1})$ converge si $\alpha \ge 0$. Donc $\sum w_n$ converge si $\alpha \ge 0$. Mais pour $\alpha < 0$, je n'arrive pas à prouver que $v_n$ diverge... (Je reviens à mon problème de base)

lafayette
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Re: [MP] Série

Message par lafayette »

On trouve que : $\sum_{n=1}^N w_n=1-\dfrac{1}{2^\alpha}-\dfrac{1}{(N+1)^\alpha}+\dfrac{1}{(N+2)^\alpha}$ donc l'étude de la convergence est assez rapide non ?

Hiruma
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Re: [MP] Série

Message par Hiruma »

Mince les sommes partielles. Pourtant vous l'avez dit un peu plus haut :oops: . Désolé et merci lafayette.

lafayette
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Re: [MP] Série

Message par lafayette »

A ton service :wink:
C'est une idée à garder en tête : étudier une série (numérique, de fonctions,...) revient à étudier la suite des sommes partielles.