[TS] Etude de fonction: la fonction logarithme népérien

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Modérateur : gdm_sco

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Hagane
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[TS] Etude de fonction: la fonction logarithme népérien

Message par Hagane »

Bonjour,

J'ai une étude de fonction à faire, mais j'ai des difficultés par rapport aux limites.
$f(x)=\ln(\dfrac{x-1}{x+1})}$

Alors déjà, le domaine de définition. Il faut que $x+1 \ne 0$ et $\dfrac{x-1}{x+1} >0$
On étudie alors le signe du quotient pour savoir où ce dernier est postif et on trouve comme Df:
$]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$

Après pour la dérivée, la fonction est sous la forme $\lnu$ avec $u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ et la dérivée de $u$ est $u'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}$
D'où la dérivée de $f(x)$ sera de la forme $\dfrac{u'}{u}$ (d'après lecours) donc
$f'(x)= \dfrac{2}{(x+1)^2} \times \dfrac{x+1}{x-1}$

Pour étudier le signe de la dérivée, $\dfrac{2}{(x+1)^2}$ est toujours positif donc le signe est celui de $\dfrac{x+1}{(x-1}$. or, on avait déjà étudié son signe pour le domaine de définition.
On a alors la dérivée positive sur $]-\infty;-1[$ et sur $]1;+\infty[$.
La fonction f est alors croissante sur $]-\infty;-1[$ et sur $]1;+\infty[$.

Ensuite pour les limites.
en $-\infty$ et $+\infty$:
$f(x)$ est de la forme $vou$ avec $u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ et $v(x)=\ln(x)$
Pour trouver la limite de $u(x)$, j'ai factorisé $x$ au numérateur et dénominateur.

j'ai trouvé $\ds\lim_{x\rightarrow -\infty} u(x)=1$ et $\ds\lim_{x\rightarrow 1} v(x)=0$ donc $\ds\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0$

De la même manière, on trouve aussi $\ds\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0$

c'est pour les limites en -1 et 1 que je ne sais pas comment m'y prendre. Avec la forme $vou$, le quotient tendrait vers 0, mais il faut savoir si c'est $0^+$ ou$0^-$...
Et si j'utilise la formule $\ln(\dfrac{a}{b})} = \ln(a) -\ln(b)$, en -1, j'ai $\ln(-2)$ ce qui est impossible. je ne peux donc pas utiliser la formule.
Et je ne sais pas par quoi passer d'autre...

Donc voilà, si vous pouviez m'aider pour les limites en -1 et 1...
Merci beaucoup pour votre aide!

Tunaki
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Re: [TS] Etude de fonction: la fonction logarithme népérien

Message par Tunaki »

Bonsoir,

Quand $x\to 1^{+}$, que se passe-t-il pour le quotient $\dfrac{x-1}{x+1}$ ? En gros, vers quoi tendent le numérateur et le dénominateur ?

Hagane
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Re: [TS] Etude de fonction: la fonction logarithme népérien

Message par Hagane »

Bonsoir,

Il faut que je me serve du tableau de signe du quotient?
si $x\to 1^{+}$, c'est donc quand $x > 1$?

Parce que quand $x\to 1$, le numérateur est nul et le dénominateur est 2...
Mais, si c'est $x >1$, le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $+\infty$, non?

masiuxus

Re: [TS] Etude de fonction: la fonction logarithme népérien

Message par masiuxus »

Si le numérateur tend vers 0 et le dénominateur tend vers 2, alors le quotient tend vers $\frac{0}{2}$, qui est égal à ... ?

Hagane
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Re: [TS] Etude de fonction: la fonction logarithme népérien

Message par Hagane »

Le quotient va tendre vers $0$...
et $\ds\lim_{x\rightarrow 0} ln(x)=-\infty$ alors $\ds\lim_{x\rightarrow 1} f(x)=-\infty$

C'est ça?

druzy
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Inscription : lundi 17 mars 2008, 23:25

Re: [TS] Etude de fonction: la fonction logarithme népérien

Message par druzy »

tu peux toujours vérifier avec ta calculatrice.