Leçon de capes sur le pgcd

Discussions générales concernant les mathématiques.
[forum modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
yurando
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 9
Inscription : mardi 20 février 2007, 18:36

Leçon de capes sur le pgcd

Message par yurando »

Bonjour
En préparant la leçon de capes sur le pgcd dans $\N$, je me suis aperçu qu'il y avait deux approches différentes pour le définir.
Soit on définit le pgcd de a et b $\in \N$ comme l'entier d $\in \N$ vérifiant $d \Z = a \Z + b \Z$
soit on le définit comme l'entier d vérifiant $D(d) = D(a) \cap D(b)$ où $D(k)$ désigne l'ensemble des diviseurs de k .

J'aimerais savoir si l'une des versions est plus adaptée que l'autre pour la leçon du capes ?

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Re: leçon de capes sur le pgcd

Message par Arnaud »

Si tu connais un peu les idéaux, mieux vaut prendre la première définition, c'est plus propre.
Il faut simplement que tu maitrises la définition que tu donnes, et ce qui en découle, donc c'est à toi de faire ce choix.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3924
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: leçon de capes sur le pgcd

Message par balf »

On peut aussi le définir comme le plus grand (au sens naïf) des diviseurs communs à a et b, et montrer que ça entraîne que D(d) = ... Il ne faut que la division euclidienne pour cela. Je signale aussi qu'il existe une très jolie démonstration (que vous connaissez peut-être) du lemme de Gauss, qui n'utilise que la division euclidienne, et pas l'artillerie lourde que constitue Bézout.

B.A.

dark_forest
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 439
Inscription : mardi 23 octobre 2007, 23:02

Re: Leçon de capes sur le pgcd

Message par dark_forest »

Quoi qu'il en soit cette lecon comporte un petit piège, selon la définition que l'on se donne le pgcd de 0 et 0 n'est pas le meme (c'est 0 avec les idéaux, il n'existe pas si on le définit par $D(d)=D(a) \cap D(b)$).

Par contre si c'est sur le pgcd sur $\mathbb{N}$, il vaut mieux le définir par $D(d)=D(a) \cap D(b)$, car il y a aussi une lecon sur les sous-groupes de $\mathbb{Z}$.

yurando
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 9
Inscription : mardi 20 février 2007, 18:36

Re: Leçon de capes sur le pgcd

Message par yurando »

Merci pour vos réponses.
Je suis plutôt de l'avis de dark_forest. Je crois que je vais choisir cette version.