Intégration numérique, quadrature de Gauss

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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fluidistic
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Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par fluidistic »

J'ai résolu des exercices un peu différent de cet exercice, mais celui-là me pose vraiment des problèmes.
Calculer $\int_{-1}^{1} f(x)x^2 dx$ à l'aide d'une formule de quadrature de la forme $\int_{-1}^{1} f(x)x^2 dx$ ~ $A_0f(x_0)+A_1f(x_1)$.
D'habitude on nous donne $x_0$ et $x_1$, alors on remplace ce qu'il y a "sous" l'intégrale par $ax^3+bx^2+cx+d$ et on trouve $A_0$ et $A_1$.
Je ne sais pas comment commencer le problème. Quelqu'un peut-il m'aider?

balf
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par balf »

Quel est l'énoncé précis ? Les méthodes de quadrature cherchent à obtenir des formules d'approximation les plus précises possibles des intégrales à l'aide de fonctions poids et de points d'évaluation convenablement choisis. Ces points d"évaluation sont les racines de polynômes orthogonaux (qui dépendent du poids utilisé : Legendre, Tchebychev, Hermite, etc.).

B.A.

OG
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par OG »

Bonsoir

Si le texte de l'exercice n'est pas plus précis ou si le thème des formules de quadrature de Gauss n'a pas été abordé c'est plutôt difficile d'inventer.
Ici on peut partir de : "supposons que $x_0$ et $x_1$ existent et que la formule de quadrature soit exacte pour les polynômes de degré inférieur à 3". Alors en posant $p(x)=x^2+bx+c=(x-x_0)(x-x_1)$ et en écrivant que la formule est exacte pour les fontions $p(x)$ et $xp(x)$ on trouve $a$ et $b$ donc $x_0$ et $x_1$. Et là c'est comme pour les exercices faits précédemment : du gateau pour trouver $A_0$ et $A_1$.

L'interêt et la difficulté des formules de quadrature de Gauss est que l'on cherche à la fois les points et les coefficients et au final on obtient des formules d'ordre plus élevé que les les formules de Newton-Cotes (où là on a défini les points puis trouvé les coefficients par intégration des polynômes de base de Lagrange).

Cordialement
O.G.

fluidistic
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par fluidistic »

J'ai oublié de préciser que la formule doit être exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3! Il faut trouver $A_0$, $A_1$, $x_0$ et $x_1$. J'ai trouvé un exercice semblable dans le livre de Sulij et Mayers. Mais avec la différence que $x_1=-x_0$ et l'exercice est simple à résoudre.
En détails, on a $\int_{-1}^{1} x^r dx= A_0(-x_1)^r+A_1(x_1)^r$. En remplaçant r par 0, 1, 2 et 3, on obtient un système d'équations à 3 inconnues qui est possible à résoudre. L'unique défaut est que l'énoncé ne précise pas que $x_1=-x_0$.
Mais maintenant que j'y pense, si $x_1$ est différent de $-x_0$, on a 4 inconnues dans 4 équations. Il est donc possible de les trouver. Enfin je crois...

fluidistic
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par fluidistic »

En posant $\int_{-1}^{1} ax^2+bx+c$, on trouve que ça vaut $\frac{2a}{3}+2c$. En écrivant que la formule est exacte pour les polynômes de degré 2, on a $\frac{2a}{3}+2c=A_0(ax_0^2+bx_0+c)+A_1(ax_1^2+bx_1+c)$, je ne vois pas comment on trouve a et b.
On a aussi $\int_{-1}^{1}xp(x)=\frac{2b}{3}=A_0(ax_0^3+bx_0^2+cx)+A_1(ax_1^3+bx_1^2+cx)$. Pouvez-vous m'aider à partir de là?

balf
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par balf »

C'est trop compliqué : on écrit que la formule est exacte pour les fonctions $1, x, x^2,x^3$ et on obtient 4 relations très simples, qui sont linéaires en $A_0$ et $A_1$, mais pas en $x_0$ et $x_1$. En éliminant $x_0$ et $x_1$, on trouve $A_0$ et $A_1$, puis on vérifie qu'effectivement, $x_0$ et $x_1$ sont opposés, et enfin on trouve leurs valeurs.

B.A.

fluidistic
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par fluidistic »

Si j'ai bien compris, il faut résoudre un système de 4 équations avec en tout 4 inconnues.
On a $2=A_0+A_1$
$0=A_0x_0+A_1x_1$
$\frac{2}{3}=A_0x_0^2+A_1x_1^2$
$0=A_0x_0^3+A_1x_1^3$.

balf
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par balf »

Exactement. La seule difficulté est de le faire de façon à ne pas avoir trop de calculs.

B.A.

fluidistic
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par fluidistic »

Oui, je patauge... En résolvant à l'aide de Mathematica, $A_0=A_1=1$ et $x_0=-x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Après vérification, tout marche bien. :)
Merci infiniment.

balf
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par balf »

Inutile d'utiliser l'artillerie lourde : il suffit de prendre les relations (2) et (4) (celles où le membre de gauche est nul) et d'injecter la relation $A_1x_1=-A_0x_0$ dans (4) pour obtenir (en supposant que $A_0x_0\neq 0$, ce qui ne serait pas compatible avec les autres équations) que $x_0^2=x_1^2$,d'où $x_1=-x_0$. On obtient alors très vite $A_0=A_1=1$ et enfin la valeur de $x_0$.

B.A.

fluidistic
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Re: Intégration numérique, quadrature de Gauss

Message par fluidistic »

En effet, bien vu! J'avais compliqué la chose...