[L1] Developpement limité

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Kazik

[L1] Developpement limité

Message non lu par Kazik »

Bonjour,

je n'arrive pas à calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction suivante :
$f(x)=e^{\sqrt{1+\sin(x)}}-e$

J'ai procédé comme suit :
$\sqrt{1+\sin(x)}=(1+\sin(x))^{1/2}$

J'ai donc utilisé le $DL_3(0)$ de $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$
et aussi le $DL_3(0)$ de $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$

mais j'ai un calcul affreux seuleument pour ce calcul ... n'est pas une bonne méthode ?
merci.
DUET
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Message non lu par DUET »

comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...
sotwafits

Re: [L1] Developpement limité

Message non lu par sotwafits »

Kazik a écrit :Bonjour,

je n'arrive pas à calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction suivante :
$f(x)=e^{\sqrt{1+\sin(x)}}-e$

J'ai procédé comme suit :
$\sqrt{1+\sin(x)}=(1+\sin(x))^{1/2}$

J'ai donc utilisé le $DL_3(0)$ de $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$
et aussi le $DL_3(0)$ de $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$

mais j'ai un calcul affreux seuleument pour ce calcul ... n'est pas une bonne méthode ?
merci.
Le calcul n'est pas affreux, car il ne faut garder que les termes d'ordre $\le 3$ :

$\sqrt{1+\sin x}=1+\dfrac{\sin x}2-\dfrac{\sin^2 x}8+\dfrac{\sin^3 x}{16}+o(\sin^3 x)$
Pour $\sin^2x$ et $\sin^3x$, il ne reste qu'un terme d'ordre $\le 3$ chacun, donc ce n'est pas trop compliqué (par contre les fractions n'ont pas l'air très sympathique :()

Ensuite il faut utiliser le DL de $\exp$ en 0.
Kazik

Re: [L1] Developpement limité

Message non lu par Kazik »

sotwafits a écrit : Le calcul n'est pas affreux, car il ne faut garder que les termes d'ordre $\le 3$ :

$\sqrt{1+\sin x}=1+\dfrac{\sin x}2-\dfrac{\sin^2 x}8+\dfrac{\sin^3 x}{16}+o(\sin^3 x)$
Pour $\sin^2x$ et $\sin^3x$, il ne reste qu'un terme d'ordre $\le 3$ chacun, donc ce n'est pas trop compliqué (par contre les fractions n'ont pas l'air très sympathique :()

Ensuite il faut utiliser le DL de $\exp$ en 0.
J'arrive au même résultat. Ensuite j'ai :
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
d'ou
$\sqrt{1+\sin x}$
=
$1+\frac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))}{2}$ - $\dfrac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^2}8$ + $\dfrac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^3}{16}$ + $o((x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^3)$

:shock:
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Message non lu par guiguiche »

Kazik, comme cela t'a été dit auparavant, développe les termes polynomiaux puis tronque à l'ordre 3 (on ne conserve que les termes de degré 0, 1, 2 et 3) et ajoute le reste $\underset{x \to 0}{o}(x^3)$.
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Message non lu par kilébo »

DUET a écrit :comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...
Ca c'est rarement une bonne idée (ne te vexe pas DUET, c'est juste une remarque). Le théorème sur les dérivées successives sert quasiment uniquement dans les cas suivants :
- Permets de s'assurer de l'existence d'un tel D.L.
- A permi au prof (et presque à lui seul en fait !) de calculer les D.L. des fonctions classiques et notamment celles obtenues à partir d'une exponentielle réelle ou complexe (par ex. la fonction $x -> e^{x}$ ou encore $x -> cos(x)$)
- Permets de retrouver les dérivées successives à partir du D.L. grâce à l'unicité du D.L.

Ainsi ce théorème s'emploie en général dans l'autre sens : D.L. => dérivées.
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Message non lu par guiguiche »

Je partage l'avis de kilébo. Il faut faire preuve de pugnacité pour, en général, déterminer la dérivée trois/quatrième d'une fonction (cf. celle proposée dans ce fil). Par contre, on le DL donne de manière immédiate (et donc pratique) les valeurs des dérivées successives au point considéré. La formule de Taylor-Young (et plus généralement la formule de Taylor avec reste intégral) s'avère un outil théorique bien peu commode dans la pratique.
DUET
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Message non lu par DUET »

Il faut faire preuve de pugnacité pour, en général, déterminer la dérivée trois/quatrième d'une fonction (cf. celle proposée dans ce fil).
oui c'est dommage pour la détermination de $a_2,a_3$ mais c'est tellement facile pour les premiers coefficients : ne connaissez-vous pas une méthode qui combine les 2 ? (identification des coefficients "evidents" puis DL de quelquechose qui complète le problème)
Ca c'est rarement une bonne idée (ne te vexe pas DUET, c'est juste une remarque)
Ok kilébo, tout va bien :wink:
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Message non lu par guiguiche »

DUET a écrit :Ne connaissez-vous pas une méthode qui combine les 2 ? (identification des coefficients "evidents" puis DL de quelquechose qui complète le problème)
A mon humble avis non, mis à part l'équivalence entre "être dérivable en un point" et "admettre un DL à l'ordre 1 en ce point".

L'autre jour encore, j'ai fait remarqué à mes élèves que l'on pouvait interpréter graphiquement les 4 coefficients du DL à l'ordre 3 que l'on avait obtenu (il y avait un point d'inflexion). Obtenir le même résultat directement (sans DL) aurait été beaucoup plus lourd (bien que le DL n'était pas trivial).

Cordialement
Kazik

Message non lu par Kazik »

DUET a écrit :comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...
en faite j'y arrive mieux avec les dérivées successives, merci beaucoup.
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