[L1] Developpement limité
[L1] Developpement limité
Bonjour,
je n'arrive pas à calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction suivante :
$f(x)=e^{\sqrt{1+\sin(x)}}-e$
J'ai procédé comme suit :
$\sqrt{1+\sin(x)}=(1+\sin(x))^{1/2}$
J'ai donc utilisé le $DL_3(0)$ de $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$
et aussi le $DL_3(0)$ de $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$
mais j'ai un calcul affreux seuleument pour ce calcul ... n'est pas une bonne méthode ?
merci.
je n'arrive pas à calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction suivante :
$f(x)=e^{\sqrt{1+\sin(x)}}-e$
J'ai procédé comme suit :
$\sqrt{1+\sin(x)}=(1+\sin(x))^{1/2}$
J'ai donc utilisé le $DL_3(0)$ de $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$
et aussi le $DL_3(0)$ de $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$
mais j'ai un calcul affreux seuleument pour ce calcul ... n'est pas une bonne méthode ?
merci.
Re: [L1] Developpement limité
Le calcul n'est pas affreux, car il ne faut garder que les termes d'ordre $\le 3$ :Kazik a écrit :Bonjour,
je n'arrive pas à calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction suivante :
$f(x)=e^{\sqrt{1+\sin(x)}}-e$
J'ai procédé comme suit :
$\sqrt{1+\sin(x)}=(1+\sin(x))^{1/2}$
J'ai donc utilisé le $DL_3(0)$ de $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$
et aussi le $DL_3(0)$ de $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$
mais j'ai un calcul affreux seuleument pour ce calcul ... n'est pas une bonne méthode ?
merci.
$\sqrt{1+\sin x}=1+\dfrac{\sin x}2-\dfrac{\sin^2 x}8+\dfrac{\sin^3 x}{16}+o(\sin^3 x)$
Pour $\sin^2x$ et $\sin^3x$, il ne reste qu'un terme d'ordre $\le 3$ chacun, donc ce n'est pas trop compliqué (par contre les fractions n'ont pas l'air très sympathique :()
Ensuite il faut utiliser le DL de $\exp$ en 0.
Re: [L1] Developpement limité
J'arrive au même résultat. Ensuite j'ai :sotwafits a écrit : Le calcul n'est pas affreux, car il ne faut garder que les termes d'ordre $\le 3$ :
$\sqrt{1+\sin x}=1+\dfrac{\sin x}2-\dfrac{\sin^2 x}8+\dfrac{\sin^3 x}{16}+o(\sin^3 x)$
Pour $\sin^2x$ et $\sin^3x$, il ne reste qu'un terme d'ordre $\le 3$ chacun, donc ce n'est pas trop compliqué (par contre les fractions n'ont pas l'air très sympathique :()
Ensuite il faut utiliser le DL de $\exp$ en 0.
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
d'ou
$\sqrt{1+\sin x}$
=
$1+\frac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))}{2}$ - $\dfrac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^2}8$ + $\dfrac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^3}{16}$ + $o((x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^3)$
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Ca c'est rarement une bonne idée (ne te vexe pas DUET, c'est juste une remarque). Le théorème sur les dérivées successives sert quasiment uniquement dans les cas suivants :DUET a écrit :comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...
- Permets de s'assurer de l'existence d'un tel D.L.
- A permi au prof (et presque à lui seul en fait !) de calculer les D.L. des fonctions classiques et notamment celles obtenues à partir d'une exponentielle réelle ou complexe (par ex. la fonction $x -> e^{x}$ ou encore $x -> cos(x)$)
- Permets de retrouver les dérivées successives à partir du D.L. grâce à l'unicité du D.L.
Ainsi ce théorème s'emploie en général dans l'autre sens : D.L. => dérivées.
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Je partage l'avis de kilébo. Il faut faire preuve de pugnacité pour, en général, déterminer la dérivée trois/quatrième d'une fonction (cf. celle proposée dans ce fil). Par contre, on le DL donne de manière immédiate (et donc pratique) les valeurs des dérivées successives au point considéré. La formule de Taylor-Young (et plus généralement la formule de Taylor avec reste intégral) s'avère un outil théorique bien peu commode dans la pratique.
oui c'est dommage pour la détermination de $a_2,a_3$ mais c'est tellement facile pour les premiers coefficients : ne connaissez-vous pas une méthode qui combine les 2 ? (identification des coefficients "evidents" puis DL de quelquechose qui complète le problème)Il faut faire preuve de pugnacité pour, en général, déterminer la dérivée trois/quatrième d'une fonction (cf. celle proposée dans ce fil).
Ok kilébo, tout va bienCa c'est rarement une bonne idée (ne te vexe pas DUET, c'est juste une remarque)
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A mon humble avis non, mis à part l'équivalence entre "être dérivable en un point" et "admettre un DL à l'ordre 1 en ce point".DUET a écrit :Ne connaissez-vous pas une méthode qui combine les 2 ? (identification des coefficients "evidents" puis DL de quelquechose qui complète le problème)
L'autre jour encore, j'ai fait remarqué à mes élèves que l'on pouvait interpréter graphiquement les 4 coefficients du DL à l'ordre 3 que l'on avait obtenu (il y avait un point d'inflexion). Obtenir le même résultat directement (sans DL) aurait été beaucoup plus lourd (bien que le DL n'était pas trivial).
Cordialement
en faite j'y arrive mieux avec les dérivées successives, merci beaucoup.DUET a écrit :comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...
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