[TS] Equation paramétrique cercle espace

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vindalou

[TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

Bonjour,

je sais que l'équation paramétrique d'un cercle dans le plan est:

$x=x_a+r*cos(j)$
$y=y_a+r*sin(j)$

J'ai un vecteur de coordonnées $u(a,b,c)$ dans l'espace et j'aimerai trouver l'équation paramétrique du cercle de rayon $r_1$, la normale à ce vecteur passant par le point $A(x_a,y_a,z_a)$.

Savez vous quel est l'équation paramétrique?

Merci d'avance

Vincent B
Dernière modification par vindalou le vendredi 16 mai 2008, 15:47, modifié 1 fois.
patrice rabiller
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Re: [TS]equation parametrique cercle espace

Message non lu par patrice rabiller »

Bonjour,

Tu veux sans doute dire que le vecteur de coordonnées (a,b,c) est normal au plan contenant le cercle, non ?
En tout état de cause, ça ne suffit pas : il faut aussi connaître le rayon et les coordonnées du centre du cercle.
vindalou

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

bonjour,

Je vais mettre l'énoncé de l'exercice(que je me suis donné à titre personnel) se sera plus simple:

Soi un vecteur $\vec{u}(a,b,c)$. Soit un cercle de rayon $r_1$ et de centre $(x_a,y_a,z_a)$ contenu dans le plan normal au vecteur $\vec{u}$.
1)Ecrire l'équation paramétrique de ce cercle, si cela est possible.

Voila ,j'espère que vous pourrez m'aider,

Vincent
Dernière modification par rebouxo le vendredi 16 mai 2008, 12:03, modifié 2 fois.
Raison : Utilisation du code LaTeX pour les maths.
Jean-charles
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Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par Jean-charles »

Bonjour,
Tu peux déjà pour commencer écrire l'équation paramétrique du plan qui contient ce cercle puis essayer de voir si on peut en tirer quelque chose...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
vindalou

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

Ok, merci :D
alors, l'équation paramétrique du plan correspondant à notre problème est:
$x=\dfrac{-bk-cq-d}{a}$ avec $k$ et $q \in \R $ et $d$ connu.
C'est exact?

Mais je ne vois alors pas comment trouver l'équation paramétrique du cercle de centre $(x_a,y_a,z_a)$ de rayon $r_1$ appartenant à ce plan... :cry:

Merci de votre aide

Vincent
vindalou

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

salut,
je pense avoir une idée:
faut il trouver l'équation de la sphère (de centre $A(x_a,y_a,z_a)$, de rayon $r_1$ et grace à l'équation paramétrique du plan, trouver l'intersection du plan et de la sphère, ce qui donnera l'équation du cercle dans le plan?

merci de m'aider mes amis

Vincent
balf
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Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par balf »

C'est une possibilité. Une autre consiste en premier lieu à se ramener au cas d'un cercle centré à l'origine (simple translation), puis à passer d'un cercle du plan xOy à un cercle dans un autre plan passant par O en utilisant les angles d'Euler, qui décrivent les rotations dans l'espace. Mais est-ce au programme de terminale ? Il arrive aussi que ce qui n'est pas du programme puisse se reconstituer dans des cas simples.

B.A.
vindalou

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

Bonjour, :D

:arrow: J'ai donc l'équation parametrique du plan... :

$$\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{-bk-cq-d}{a} \\ y=k \\z=q\end{array} \right.}$$
avec $k$ et $q$ $\in ]- \infty ; +\infty[$

:arrow: ... et l'équation paramétrique de la boule :

$$\left\{ \begin{array}{l} x=r_1cos(u)cos(v)+x_a\\ y=r_1cos(u)sin(v)+y_a \\z=r_1sin(u)+z_a\end{array} \right.}$$
avec $u$ et $v$ $\in [0 ; 2 \pi ]$

:?: Quelle est l'étape permettant de trouver l'intersection des 2 systèmes d'équations ?
:?: Dois-je remplacer dans l'équation du plan $k$ et $q$ par les valeurs de $y$ et $z$ de l'équation de la boule ?

Merci de votre aide,

Vincent
Dernière modification par vindalou le jeudi 22 mai 2008, 10:02, modifié 1 fois.
vindalou

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

SOS
surjay

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par surjay »

Est ce un exercice de lycée ou bien un défi personnel ? Parce que ca me parait balèze pour un exo de lycée !

Déjà, faut faire attention à la manière dont ton plan est définit :
- Soit il passe par l'origine et dans ce cas ca a du sens de faire l'intersection avec la sphère. Tu as alors d=0.
- Soit il passe par A et il faut faire une translation dans l'équation de la sphère. Dans ce cas $d=A.u=x_a^2+x_b^2+x_c^2$

Après j'imagine qu'il faut bidouiller les équations du plan et celle de la sphère.

Une autre idée ce serait d'utiliser les vecteurs $\begin{pmatrix} r\cos \theta \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ r\sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}$ en leur faisant subir un changement de repère ou de base selon le cas.

Edit : Après réflexion, la première méthode donne des relations trigonométriques très compliquées et la seconde demande d'utiliser une matrice :(
Perso je pense que le problème est trop compliqué pour un élève de TS, je serait étonné si ton prof t'avais donné sa (auquel cas, je serai curieux de connaitre sa correction).
Sinon tu peux t'amuser à faire ta méthode avec A=0 et u un des vecteurs de la base orthogonale, ca te donnera des équations paramétriques simples pour un cercle dans les 3 plans x=0, y=0 et z=0. C'est à dire respectivement l'équivalent de $y^2+z^2=r^2$, $x^2+z^2=r^2$ et $y^2+x^2=r^2$
vindalou

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

vbnul a écrit :Est ce un exercice de lycée ou bien un défi personnel ? Parce que ca me parait balèze pour un exo de lycée !
vbnul a écrit : Perso je pense que le problème est trop compliqué pour un élève de TS, je serait étonné si ton prof t'avais donné sa (auquel cas, je serai curieux de connaitre sa correction).
Oui, on peut dire que c'est un défi personnel. Je pensais que c'était niveau TS, mais je serais quand même curieux de connaitre la réponse car je pense pouvoir comprendre.

J'ai modifié l'équation de la boule, afin de placer le centre de la boule sur $A$

$$\left\{ \begin{array}{l} x=r_1cos(u)cos(v)+x_a\\ y=r_1cos(u)sin(v)+y_a \\z=r_1sin(u)+z_a\end{array} \right.}$$
avec $u$ et $v$ $\in [0 ; 2 \pi ]$

:arrow: En fait, ce que j'aimerais vraiment, c'est savoir comment faire pour trouver "l'intersection des 2 systèmes d'équations(le plan et la boule)". Une fois que j'aurais trouver comment faire, le problème sera résolu ! :)

Merci de votre aide!

Vincent
surjay

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par surjay »

Oui, mais faire l'intersection, c'est à dire trouver les points qui vérifient à la fois les équations du plan et celles de la sphère, c'est pas si simple !

Plutot que d'essayer de prendre tous les paramètres en compte (plan non centré, vecteur u quelquonque...), essayons avec A=0 et $\vec{u}=\vec{e_1}$.
L'équation du plan devient x=0.
D'après les équations que tu as donné pour la sphère (sans la translation), $x = r\cos(u)\cos(v) = 0$ (sachant que u et v ne sont pas exactement compris entre 0 et $2\pi$, cette description tu la verra plus en détail en prépa donc passons).
Ce qui donne $u=\pi/2$ ou $v=\pi/2$ (là encore, la rigeur passe à la trappe)
$u=\pi/2 \Rightarrow y=0 \mbox{et} z=r$ ce qui nous donne un point, pas super terrible.
$v=\pi/2 \Rightarrow y=r\cos(u) \mbox{et} z=r\sin(u)$ qui sont les équations que tu recherches.

Maintenant généralisons avec u quelquonque : (P) ax+by+cz=0
En remplacant x,y et z on trouve $a\cos(u)\cos(v)+b\cos(u)\sin(v)+c\sin(u) = 0$

Après je pense qu'il faudrait en déduire une relation entre u et v (en fonction de a,b,c) puis la reporter dans l'équation paramétrique de la sphère.
Ce que je n'essaierai pas de faire en TS :?

Ceci dit, à quoi peut bien servir l'équation paramétrique d'un cercle dans l'espace ?
A vue de nez, à le tracer dans l'espace, mais on peut aussi se demander si un point (un perso de jeux video ou je ne sais quoi) se trouve sur le cercle.
Auquel cas il suffit de vérifier s'il est sur le plan (produit scalaire nul) et s'il est sur la sphère (distance au centre égale à r). On a donc pas toujours besoin des équations paramétriques.

Moralité de ton problème : partir d'un problème simple pour ensuite généraliser aux cas plus compliqués.
vindalou

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par vindalou »

Ok merci, j'ai suivi les conseils et j'ai réussi ce que je voulais!
balf
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Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par balf »

Quelle est la réponse, en fin de compte ?

B.A.
surjay

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par surjay »

Voici une réponse illustrée, trouvée grâce à une remarque de M.C. :

Soit $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ le vecteur normal au plan contenant le cercle.
On pose $\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}} \begin{pmatrix} u_2 \\ -u_1 \\ 0 \end{pmatrix}$, en supposant que $u_1 \neq 0$ on a $\vec{u}.\vec{v}=0$.
On pose $\vec w =\vec u . \vec v = \begin{pmatrix} u_1 u_3 \\ u_2 u_3 \\ -(u_1^2+u_2^2) \end{pmatrix}$
L'équation paramétrique recherchée est donc $r\cos\theta \vec v + r\sin\theta \vec w$

Autrement dit $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{r}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}(u_2 \cos\theta+u_1 u_3 \sin\theta) \\ y=\frac{r}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}(-u_1 \cos\theta+u_2 u_3 \sin\theta) \\ z=\frac{r}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}(-\sin\theta (u_1^2+u_2^2)) \end{array} \right.}$

On peut ajouter une translation pour centrer le cercle en $\vec M = \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}$ :
$\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{r}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}(u_2 \cos\theta+u_1 u_3 \sin\theta)+X \\ y=\frac{r}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}(-u_1 \cos\theta+u_2 u_3 \sin\theta)+Y \\ z=\frac{r}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}(-\sin\theta (u_1^2+u_2^2))+Z \end{array} \right.}$

Pour se convaincre du raisonnement, on peut prendre $r=1$, $\vec u=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec M = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Ce qui donne $\left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=2 -\cos\theta \\ z=-\sin\theta) \end{array} \right.}$

Avec k3dsurf, on peut vérifier que c'est bien un cercle (un disque parce que j'ai laissé $r$) :
Image
surjay

Re: [TS] Equation paramétrique cercle espace

Message non lu par surjay »

Pour aller plus loin, on peut faire subir une rotation au cercle pour en faire un tore :

$\begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2-\cos\theta \\ -\sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\phi(\cos\theta-2)\\ \cos\phi(2-\cos\theta) \\ -\sin\theta \end{pmatrix}$

Image