[Deug] Radical d'un idéal

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Marouane
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Inscription : dimanche 11 mai 2008, 15:59

[Deug] Radical d'un idéal

Message par Marouane »

Bonjour les matheux, voilà je bloque sur un truc là :
Soit $I$ un idéal de $A$. on désigne par $\sqrt{I}$ l'ensemble $\{ x \in A / \exists n \in \N^* : x^n \in I \}$. \\
1) Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
2) Soit $J$ un idéal de $A$. Vérifier les règles de calcul suivantes:
a) $\sqrt{I.J} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$ et $\sqrt{I^n} = \sqrt{I}$
b) $\sqrt{I+J} = \sqrt { \sqrt{I} + \sqrt{J} }$
c) $\sqrt{ \sqrt{I} } = \sqrt{I}$
3) Montrer que si $\mathcal{P}$ est un idéal de $A$, alors $\sqrt{ \mathcal{P} } = \mathcal{P} $ et $\sqrt{ \mathcal{P}^n } = \mathcal{P}$
4) Soit $n$ un entier $>1$. Déterminer $\sqrt{n \Z}$.

Voilà où je suis:
1) $0 \in \sqrt{I}$ alors il n'est pas vide, on prenons $x,y \in \sqrt{I}$ on a: $$\displaystyle{(x-y)^{n+m} = \sum_{k=o}^{n+m} \mathcal{C}^k_{n+m} x^k (-y)^{n+m-k} = \sum_{k=0}^{n} \mathcal{C}^{n+m}_{k} x^k (-y)^{n+m-k} + \sum_{k=n+1}^{m} \mathcal{C}^{n+m}_{k} x^k (-y)^{n+m-k}}$$
donc $(x-y)^{n+m} \in I$ alors $(x-y) \in \sqrt{I}$ d'où $\sqrt{I}$ est un sous-groupe commutatif de $A$ pour la loi + , d'autre part soit $a \in A$ et $x \in \sqrt{I}$ on $x^n \in I$ alors $a^n x^n \in I$ alors $ax \in \sqrt{I}$ donc $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.

2)a) soit $a \in \sqrt{I.J}$ alors $a^n \in I.J$ donc $a^n = \sum x_i y_j$ tel que $x_i \in I$ et $y_j \in J$ or:
$x_i y_j \in I$ car $x_i \in I$ et $I$ est un idéal de même $x_i y_j \in J$, donc $a^n = \sum x_i y_j \in I \cap J$
je bloque pour $\sqrt{I^n} = \sqrt{I}$

balf
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Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: [DEUG] Radical d'un idéal

Message par balf »

La question 1) va à peu près ; un certain manque de précision : vous ne dites pas ce que sont $m$ et $n$ ; ce n'est pas au lecteur de reconstituer le puzzle ! Mais peut-être avez-vous simplement raccourci pour le forum ?

Pour 2), vous avez simplement montré que $\sqrt{I\cdot J}\subset \sqrt{I\cap J}$, ce qui résulte essentiellement de ce que $I\cdot J\subset I\cap J$ (le même argument peut resservir ailleurs). Mais l'inclusion réciproque ? Il n'est pas vrai en général que $I\cap J\subset I\cdot J$.

Pour $\sqrt{I^n}$ son inclusion dans $\sqrt{I}$ est évidente pour la même raison ; il reste à vérifier que si un puissance de $x$ appartient à $I$, une autre puissance (à déterminer en fonction de la première) est dans $I^n$.

Pour la question 3), il doit y avoir un oubli : $\mathcal P$ doit être un idéal premier.
B.A.

kaled
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Inscription : jeudi 07 novembre 2013, 18:16

Re: Radical d'un idéal

Message par kaled »

bsr
soit I idéal de A
montre que $\sqrt{I}$ est l'ensemble $\{ x \in A / \exists n \in \N^* : x^n \in I \}$

balf
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Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: [DEUG] Radical d'un idéal

Message par balf »

??? Il n'y a rien à montrer : c'est la définition.

B.A.