Distributions, intégrales

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acid24
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Distributions, intégrales

Message par acid24 »

Bonjour à tous,

je suis à la recherche de documents sur le web à propos de la théorie des distributions. Ayant "googolisé" sans trop de succès, trouvant principalement des textes plutôt "physiciens" que "matheux"... je fais donc appel à l'aide des utilisateurs de ce forum :).

je souhaite en particulier répondre à la question suivante: (qui ne vous semblera peut être pas très claire :? )
la théorie des distributions est-elle forcement liée à la théorie de la mesure et de l’intégrale de lesbesgue ?
peut-on "travailler" avec des distributions en n'utilisant que l'integrale de Riemann des fonctions réglées? cf cette précision.

merci de tout élément de réponse.
Dernière modification par acid24 le mardi 09 mai 2006, 14:03, modifié 1 fois.

kilébo
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Message par kilébo »

Je peux d'ore et déjà te répondre que, si ma mémoire est bonne, la théorie de la distribution s'inscrit directement dans la théorie de l'intégration de Lebesgue et notamment les espaces $L^{1}_{loc}$ et $L^{2}$.

Même la notion de presque partout est omnis présente...

acid24
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Message par acid24 »

Bonjour,
je précise ma question,
je me suis intéressé au cas des fonctions de $\R$ dans $\R$, je résume ce que j'en ai compris:

on appelle $\mc{D}$ l'ev des fonctions $C^\infty(\R)$ à support compact
Une distribution est une forme linéaire continue sur $\mc{D}$
on note $\mc{D}^*$ l'ensemble de de ces formes linéaires.
première hésitation : quelle norme prendre sur $\mc{D}$ ? je pense que la norme de la convergence uniforme est intéressante: $\psi \in \mc{D} , N(\psi)= \underset{\R}{Sup}~ |\psi | $

ensuite, pour illustrer que les distributions "prolongent" la notion de fonction on peut "plonger", par exemple, $C^0[a,b]$ dans $\mc{D}^*$ par
$\forall f \in C^0[a,b] ~,~ T_f :~ \psi \mapsto \int_{[a,b]} f \cdot \psi $
On peut se contenter ici de l'integrale de riemann des fonctions réglées (?)
On a $T_f \in \mc{D}^*$

On peut aussi plonger $L_{Loc}^1$ dans $\mc{D}^*$ par $\forall f \in L_{Loc}^1 ~,~ T_f :~ \psi \mapsto \int f \cdot \psi $ ici il s'agit de l’intégrale de Lebesgue.

j'ai conscience qu'on "oublie" (bcp) d' éléments de $\mc{D}^*$ si on n'utilise que l’intégrale de Riemann des fonctions réglées ,
Mon objectif est de faire un exercice introductif au distributions niveau MP, donc je doit me limiter à l’intégrale de Riemann des fonctions réglées,
par contre je pense pouvoir introduire les distributions telles que le "pic de dirac", même sans l’intégrale de Lebesgue, pensez vous que cela va être possible ?

merci de toute réponse :P
Dernière modification par acid24 le mardi 09 mai 2006, 14:29, modifié 2 fois.

sotwafits
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Message par sotwafits »

Mettre une norme sur ${\cal D}$ n'est pas très intéressant, car on ne peut pas en faire un espace complet

Duceux
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Distributions

Message par Duceux »

Bonjour,

En fait la topologie que l'on prend sur $\cal D$ ne peut être définie par une norme. T étant une distribution et$f_j$ une suite de $\cal D$, pour assurer que $T(f_j) \rightarrow 0$, on doit supposer que les $f_j$ ont leurs supports contenus dans un compact fixe et que la suite converge uniformément vers 0 ainsi que toutes ses dérivées (sinon il sera impossible de définir les dérivées de T d'ordre quelconque). La topologie est en fait une topologie d'espace localement convexe définies par une famille (assez compliquée) de semi-normes. L'espace topologique $\cal D$ ainsi défini est alors un espace complet (espace de Fréchet).
Pour le début, on peut se contenter de poser (pour ce qui concerne la continuité) la condition énoncée plus haut assurant la convergence de $T(f_j)$ vers 0.
Bon courage...

la main gauche
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Message par la main gauche »

Il est certainement utile de consulter le livre de lolo *méthodes mathématiques pour les sciences physiques* (Laurent Schwartz).
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acid24
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Message par acid24 »

Merci à tous pour vos réponses, j'avais entrevu le problème de ma norme pour prouver que
$ \psi \mapsto \psi'(a) $ est une forme linéaire continue ...
donc j'ai compris pourquoi on devait introduire la famille de semi norme .. c un peu complexe pour le niveau sup :? non ?

par contre pensez vous qu'on puisse donner un sens à l'application:

$$\psi \in \mc{D} \mapsto \ds\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{Sup |\psi^{(k)}|}{k!}$$

sotwafits
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Message par sotwafits »

Non, cette série n'est pas toujours convergente.

la main gauche
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Message par la main gauche »

Dans mes vagues souvenirs, ta tentative est presque bonne, mais on prend l'inf avec 1 des numérateurs de la série; et je crois me rappeler qu'il trâine aussi une affaire d'exhaustion de compacts. Mais je crois bein qu'en pratique on n'utilise pas cette les semi-normes définissant la topologie mais les critères de convergence --- i.e. la topologie fréquentée concrètement --- que donne Schwartz dans le bouquin sus-cité.
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acid24
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Message par acid24 »

merci pour ces réponses , c'est vraiment sympa de pouvoir parler de sujets de math aussi interessants avec des personnes "cultivées" sur ce site :) ...

sotwafits, je reste sur ma fin quand au fait que la serie
$\ds\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{Sup |\psi^{(k)}|}{k!}$ n'est pas toujours convergente. As-tu un contre exemple :shock: ? (sauf si c'est aussi compliqué que les contre exemple de fonctions continues non dérivables :? )

la main gauche
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Message par la main gauche »

Un théorème de Borel dit qu'on peut prescrire la série de Taylor d'une fonction en un point. De façon légèrement pédante: si U est un ouvert de R marqué d'un point a; l'application qui à une fonction lisse à support compact contenu dans U associe sa série formelle de Taylor au point a est une application (linéaire) surjective (toute série formelle est atteinte). Elle n'est pas injective (fonctions plateaux; exp(-1/x^2)). Sachant cela, c'est plus facile de montrer l'existence de fonctions pour lesquelles la série diverge vers l'infini ...

Bon appétit

acid24
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Message par acid24 »

la main gauche,

je n'ai pas tout compris à ton début de contre exemple, peux-tu reessayer en imaginant que tu t'adresses à un élève de prépas ?
merci d'avance :)

sotwafits
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Message par sotwafits »

Le théorème de Borel :
Pour toute suite $(a_n)\in\R^\N$, il existe une fonction $f$ de classe ${\cal C}^\infty$ de $\R$ dans $\R$ telle que $\forall n\in\N,\, f^{(n)}(0)=a_n$

Donc en choisissant bien la suite $(a_n)$ on peut s'arranger pour que la série $\sum_{n=0}^\infty \dfrac{\sup\left|f^{(n)}\right|}{n!}$ soit divergente.

acid24
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Message par acid24 »

merci pour toutes ces infos,
on m'a confirmé que les distribution n'etaient pas ne bonne idée d'exo en sup, trop abstrait ...

néanmoins, pensez vous que je puisse trouver des fonctions non triviales dans l'ensemble suivant :
$\ds{ \mc{B}= f \in \mc{C}^{\infty} \textrm{a support compact, tq}~ \exists M>0, \forall k \in \N ,~ Sup|f^{(k)}| \le M } $ ?

sotwafits
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Message par sotwafits »

Non

En effet, il est facile de montrer qu'une telle fonction $f$ est entière, car ton hypothèse entraîne qu'en tout point, $f$ est la somme de sa série de Taylor (utiliser par exemple la formule de Taylor avec reste intégral entre 0 et $x$ à l'ordre $n$ et faire tendre $n$ vers $+\infty$)

Si on suppose en plus que $f$ est à support compact, alors elle est nulle.