Equation d'un cercle et d'une sphère

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
theboss1er
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : mardi 02 mai 2006, 21:42

Equation d'un cercle et d'une sphère

Message par theboss1er »

salut
je voudrais savoir quelle équation taper dans ma calculette en mode 2D pour le cercle et 3D pour la sphère pour "dessiner" un cercle et une sphère??

a+

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Message par rebouxo »

Un cercle ne peut être représenté par une fonction, en coordonnées cartésiennes. Un nombre peut avoir deux images.
L'équation d'un cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $r$ est donnée par :
$(x-a)^2+(y-a)^2 = R^2$ en coordonnées cartésiennes. Il faut isoler $y$ et faire deux cas : $y = \sqrt{R^2 - (x-a)^2} + b$ et $y = -\sqrt{R^2 - (x-a)^2} + b$.
En coordonnée polaire, c'est plus simple :$ \rho(\theta) = R$ pour le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $R$. Pour les autres cercles, il doit falloir faire un changement de repère.

Dans l'espace, en coordonnées cartésiennes, c'est la même chose avec une coordonnées en plus. Il faut alors isolé $z$.

La sphère de centre $(0,0,0)$ doit se représenter par $\rho(\theta,\phi) = R$, mais je ne pense pas que les calculatrices gèrent les coordonnées sphériques.

B'soir, tout le monde.

jobherzt
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 433
Inscription : vendredi 13 janvier 2006, 13:13

Message par jobherzt »

avec une calculatrice, fait le avec une equation parametrique :

$$x(t)=sin(t)$$
$$y(t)=cos(t)$$
avec $t\in [0,2\pi]$.

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Message par rebouxo »

:oops: Et j'y ai pas pensé.
Evidemment pour avoir un cercle de rayon $R$, il faut que tu multiplie par $R$.
Une équation paramétrique pour la sphère ?

Olvier

jobherzt
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 433
Inscription : vendredi 13 janvier 2006, 13:13

Message par jobherzt »

bien sur ! c'est assez logique, on trace des cercles qui retrecissent avec la hauteur :

$$\left\{
\begin{matrix}
x(\theta,\phi) & = & r \sin\theta \; \cos\phi \\
y(\theta,\phi) & = & r \sin\theta \; \sin\phi\\
z(\theta,\phi) & = & r \cos\theta
\end{matrix}
\right.$$

pour $\theta \in ]0,\pi[$ et $\phi \in ]-\pi,\pi[$

theboss1er
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : mardi 02 mai 2006, 21:42

Message par theboss1er »

merci de toutes vos réponses !
seulement je suis en premiere S et on a pas encore vu les paramétriques ni les polaires
et l'exercice demande de donner l'équation d'une sphère de centre $\Omega(1;-2;3)$ et de rayon $R=2$.

je ne comprend pas du tout !

jobherzt
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 433
Inscription : vendredi 13 janvier 2006, 13:13

Message par jobherzt »

alors dans ce cas, l'equation a donner ne permet pas (pas directement) de la tracer a la calculette. c'est simplement l'equation vérifiée par les points de la sphere. par definition, si on parle d'une sphere centrée en $\Omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$, la sphere de rayon r est l'ensemble des points qui sont a la distance r du centre. or, une distance dans $\R^3$ s'exprime comme la racine de la somme des carres des differences des coordonnées :-) en plus clair, tout point $(x,y,z)$ de la sphere verifie :

$$\sqrt{(x-\omega_x)^2+(y-\omega_y)^2+(z-\omega_z)^2}=r$$

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Message par rebouxo »

Ce n'est jamais que le théorème de Pythagore !
Olivier

theboss1er
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : mardi 02 mai 2006, 21:42

Message par theboss1er »

jobherzt a écrit :alors dans ce cas, l'equation a donner ne permet pas (pas directement) de la tracer a la calculette. c'est simplement l'equation vérifiée par les points de la sphere. par definition, si on parle d'une sphere centrée en $\Omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$, la sphere de rayon r est l'ensemble des points qui sont a la distance r du centre. or, une distance dans $\R^3$ s'exprime comme la racine de la somme des carres des differences des coordonnées :-) en plus clair, tout point $(x,y,z)$ de la sphere verifie :

$$\sqrt{(x-\omega_x)^2+(y-\omega_y)^2+(z-\omega_z)^2}=r$$
ah mais oui evidement ca me parait facile comme ca :)

merci à tous en tout cas :D

theboss1er
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : mardi 02 mai 2006, 21:42

Message par theboss1er »

re-salut

qqun pourrais m'expliquer comment "marche" une fonction paramétrique ?

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Message par rebouxo »

On parlerait plutôt de courbe paramétrée, je pense.
Les points d'une courbe définie par une fonction $f$ ont pour coordonnées : $(x,\f(x))$.
Pour une courbe définie en paramétrique, les points sur cette courbe ont pour coordonnées : $(x(t) ; y(t))$ ou $x$ et $y$ sont des fonctions, et $t$ un paramètre.
Les courbes paramétriques sont très utilisées en mécaniques $t$ est alors le temps.
L'intérêt du paramétrique c'est que cela permet de représenter des courbes ou << un point à plusieurs images ", comme le cercle.
Voir ici.