Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

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medchok
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Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par medchok »

Bonjour,

Je cherche à définir l'expression explicite des dérivées partielles d'une primitive de fonction définie comme suit:

$x=f(y,t)$
$y=f{^-1}(x,t)$

Soit une G primitve de y (en intégrant % x), càd : G=integrale[0,x] (y)dx ou encore G=integrale[0,x] (f^-1(x,t))dx.
$G=\int_{0}^{x} f^{-1}(x,t) dx$

Prière m'aider à expliciter les expressions analytiques de : $\frac{dG}{dx}$ et $\frac{dG}{dt}$.

Merci d'Avance
Medchok

OG
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par OG »

Bonsoir

Dans la définition de $G$ il y a $x$ qui intervient dans une des bornes de l'intervalle d'intégration et un $dx$. Merci de corriger l'expression de $G$ et de bien préciser la dépendance en fonction de $x$ et $t$.

Cordialement
O.G.

medchok
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par medchok »

Bonjour, (rectif.)

Je cherche à définir l'expression explicite des dérivées partielles d'une primitive de fonction définie comme suit:

$x=f(y,t)$
$y=f^{-1}(x,t)$

Soit une G primitve de y (en intégrant % x), càd : G=integrale[0,x] (y)dx ou encore G=integrale[0,x] (f^{-1}(x,t))dx.
$G=\ds\int_{0}^{x^{*}} f^{-1}(x,t) dx$

Prière m'aider à expliciter les expression analytiques de :
$\dfrac{\partial G}{\partial x}$
et
$\dfrac{\partial G}{\partial t}$

Merci d'Avance
Medchok

[edit guiguiche : nombreuses modifications du code LaTeX]

guiguiche
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par guiguiche »

c'est quoi ce $x^*$ ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

medchok
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par medchok »

$x^{*}$ est supposé être une constante (mais sa valeur est plutôt calculée à partir d'autres équations).
Pour l'instant c'est plutôt les expressions explicites des dérivées partielles qui m'intéressent le plus.
Merci

guiguiche
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par guiguiche »

J'ai corrigé de nombreuses formules LaTeX ci-dessus : merci de me dire si cela est correct.

Quelques objections mathématiques :
- Les notations $x=f(y,t)$ et $y=f^{-1}(x,t)$ sont peu cohérentes.
- La fonction G est fonction de quelles variables ?
- A l'issue du calcul de l'intégral, il ne subsiste plus de $x$.

Maintenant, peut-être est-ce $G(x^*,t)$ auquel cas, on peut calculer des dérivées partielles par rapport à $x^*$ et $t$. Par rapport à $x^*$, on obtient classiquement $f^{-1}(x^*,t)$. Par rapport à $t$, si la fonction $f^{-1}$ possède de bonnes propriétés, on obtient l'intégrale de la dérivée partielle par rapport à $t$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

medchok
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par medchok »

Merci pour la réponse,
Peut on aller plus loin et développer en fonction de f et non pas de la fonction inverse?
Merci

guiguiche
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par guiguiche »

Ton $f^{-1}$ est une notation mais pas la fonction réciproque de $f$. Par contre, en notant pour chaque réel $t$ qui va bien $f_t(y)=f(y,t)$ et pourvu que $f_t$ soit bijective pour chaque réel $t$, alors, notant $x=f_t(y)$, on peut écrire $y=(f_t)^{-1}(x)$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

medchok
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par medchok »

Au fait, il s'agit bien de la fonction inverse.
Seule question, comment définir l'intégrale de la dérivée en l'exprimant à partir de la fonction f et non pas sa réciproque.
Merci

medchok
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Re: Dérivée partielle d'une primitive % à l'une des variables

Message par medchok »

Bonjour,

Le problème est un peu plus complexe en ce sens que t est en fait une fonction de $x^{*}$ et de u, càd que ma question de départ s'écrit comme suit:

$x=f(y,t)$
$y=f^{-1}(x,t)$
$t=k(x^{*},u)$

Soit une G primitve de y (en intégrant % x), càd : G=integrale[0,x] (y)dx ou encore G=integrale[0,x] (f^{-1}(x,t))dx.

$G=\ds\int_{0}^{x^{*}} f^{-1}(x,t) dx$ : $G=\ds\int_{0}^{x^{*}} f^{-1}(x,k(x^{*},u)) dx$

Prière m'aider à expliciter les expression analytiques de : $\dfrac{\partial G}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial G}{\partial t}$.

Merci d'Avance
Medchok