[TS Spé] Divisibilité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
stephanie
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 295
Inscription : dimanche 09 septembre 2007, 21:00

[TS Spé] Divisibilité

Message par stephanie »

Bonsoir,

Première heure de cours et déjà bloquée :mrgreen: ! C'est pourquoi je viens chercher votre aide :D Merci d'avance...
Voila les 2 exos en questions :

Exo 1 :
$k$ est un entier naturel, $a = 9 k + 2$ et $b = 12 k + 1$. Prouver que les seuls diviseurs positifs communs de $a$ et $b$ sont $1$ et $5$.
Et bien pour l'instant, j'ai pas vraiment d'idée pour commencer...

Exo 2 :
Trouver tous les couples d'entiers naturels $(a;b)$ tels que $a^2 - b^2 = 21$.
on peut écrire $(a-b) (a+b) = 21$ c'est un produit d'entier donc a divise 21, les diviseurs de $21$ sont : $1, 3, 7, 21$
Il faut donc essayer pour tous les cas $a=1, a=3, a=7$... le problème c'est que je trouve aucun b entier naturel c'est normal ?

Merci

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7189
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par MB »

stephanie a écrit :Exo 1 :
$k$ est un entier naturel, $a = 9 k + 2$ et $b = 12 k + 1$. Prouver que les seuls diviseurs positifs communs de $a$ et $b$ sont $1$ et $5$.
Et bien pour l'instant, j'ai pas vraiment d'idée pour commencer...
Une piste (peut être qu'il y a mieux) :

Tu sais que si un nombre $n$ divise $a$ et $b$, alors ce nombre $n$ divise $\alpha a + \beta b$ ($\alpha$ et $\beta$ dans $\Z$).
Par exemple, $n$ divise $4a-3b$. Tu peux calculer ce nombre ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par rebouxo »

J'ai des doutes. En regardant pour les premières valeurs de $k$, cela ne fonctionne pas.
L'énoncé est-il juste ?

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

stephanie
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 295
Inscription : dimanche 09 septembre 2007, 21:00

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par stephanie »

Rebouxo : j'ai vérifié l'énoncé est recopié sans erreur :D
sinon je me penche sur votre "piste" mais j'avoue que je patoge pas mal :roll:

Valvino
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 921
Inscription : mercredi 21 mars 2007, 10:59

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par Valvino »

Exercice 1

Si $k=1$, alors $a=11$ et $b=13$, et ni 1 ni 5 ne sont des diviseurs positifs communs de $a$ et $b$. Donc l'énoncé est faux.

Exercice 2

Quels sont les diviseurs positifs de 21? En remarquant que $a-b$ et $a+b$ sont de même parité et divisent tous les deux 21, tu devrais obtenir un système d'équations à résoudre.

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7189
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par MB »

Valvino a écrit :Si $k=1$, alors $a=11$ et $b=13$, et ni 1 ni 5 ne sont des diviseurs positifs communs de $a$ et $b$. Donc l'énoncé est faux.
Bah 1 quand même ça divise un peu tout et n'importe quoi. :D
En tout cas, il est certain que pour $k=1$ le nombre 5 n'est pas un diviseur commun. Pour les autres valeurs faut voir.
Par contre, je pense qu'on peut montrer que 1 et 5 sont les seuls diviseurs communs possibles.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

stephanie
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 295
Inscription : dimanche 09 septembre 2007, 21:00

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par stephanie »

Oula la la quelle galère :cry: ...
Pour les diviseurs positifs de 21 : 1, 3,7, 21 mais après vous me parlez de parité de $a+b$ et de $a-b$ mais que signifie ce terme ? Je suis coincée :? Merci pour votre aide

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par rebouxo »

stephanie a écrit :Oula la la quelle galère :cry: ...
Pour les diviseurs positifs de 21 : 1, 3,7, 21 mais après vous me parlez de parité de $a+b$ et de $a-b$ mais que signifie ce terme ? Je suis coincée :? Merci pour votre aide
La parité des nombres c'est si ils sont pairs ou impairs. :D Or, tous tes diviseurs de $21$ sont impairs, qu'est-ce que cela veut dire sur $a$ et $b$.

Cela dit, il n'y a pas beaucoup de cas : $a-b =1$ alors $a+b=21$ et donc $2a = \ldots$ et donc $b = \ldots$. Et pareil pour l'autre.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

Valvino
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 921
Inscription : mercredi 21 mars 2007, 10:59

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par Valvino »

MB a écrit :Bah 1 quand même ça divise un peu tout et n'importe quoi. :D
:oops: Désolé lol

Sinon pour le deuxième exercice on peut aussi tester à la bourrin toutes les valeurs possibles. :)

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7189
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par MB »

stephanie a écrit :sinon je me penche sur votre "piste" mais j'avoue que je patoge pas mal :roll:
Bah ça vaut combien $4a-3b$ ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

stephanie
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 295
Inscription : dimanche 09 septembre 2007, 21:00

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par stephanie »

Voila du nouveau, après quelques explications, mon problème à un peu avancé, surtout pour l'exo 2, je vous mets ce que j'ai fait afin que vous puissiez me dire si c'est correct :

Exo 2 :
Les diviseurs de 21 sont : 1, 3, 7, 21
Quatre solutions :
Soit $a+b=1$ donc $a-b=21$ je trouve $a=11$ et $b=-10$ ca ne marche pas car $b \notin \N$
Soit $a+b=3$ donc $a-b=7$ je trouve $a=5$ et $b=-2$ pareil ca ne marche pas car $b \notin \N$
Soit $a+b=7$ donc $a-b=3$ je trouve $a=5$ et $b=2$ OK
Soit $a+b=21$ donc $a-b=1$ je trouve $a=11$ et $b=10$ OK
Il y aurait donc 2 couples solutions ? : $(5;2)$ et $(11;10)$

Pour l'exo 1 :

$4a-3b = 4(9k+2)-3(12k+1)=5$ On retrouve le 5 ? mais le 1 ? mais d'ailleurs d'où sortent 3 et 4 ?
Je m'embrouille :shock: Pourriez vous m'expliquer svp quand vous êtes face à ce genre d'énoncer comment vous faite pour démeler la situation et vous en sortir ? Quelle est la logique à appliquer ? Que faire pour commencer ?
Merci

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par rebouxo »

Non, $a$ et $b$ sont positifs. Donc $a+b > a-b$. Cela devrait marcher mieux.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7189
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: [TS Spé] Divisibilité

Message par MB »

stephanie a écrit :$4a-3b = 4(9k+2)-3(12k+1)=5$ On retrouve le 5 ? mais le 1 ? mais d'ailleurs d'où sortent 3 et 4 ?
On sait que si un nombre divise à la fois $a$ et $b$, alors il divise $4a-3b$ et donc il divise 5. Or, les seuls nombres qui divisent 5 sont 1 et 5 justement. Ce sont donc les deux seules valeurs possibles pour ce diviseur commun. Et pourquoi le 3 et le 4 : pour éliminer le $k$.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.