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Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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Tolbo
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Série

Message par Tolbo »

Bonjour,

lorsque l'on veut étudier la convergence d'une série, il y a t-il des astuces pour savoir quels techniques utiliser (critère de Cauchy, d'Alembert, Bertrand, Riemann, équivalence ...).

Par exemple pour :
$ \sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} $
$ \sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}$
et encore
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha}$ avec $\alpha > 2$

Qu'est-ce qui vous indique qu'elles méthode serait susceptible de fonctionner ?

Merci

guiguiche
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Re: Serie

Message par guiguiche »

1 et 3 : équivalent
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

Tolbo
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Re: Serie

Message par Tolbo »

$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge


$\sqrt{n^2+n+1}-1 \sim \sqrt{n^2}=n$
donc
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha} \sim \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{1}{n^\alpha^-^1} \sim \dfrac{1}{n^\alpha^-^1}$ donc ça converge d'après le critère de Bertrand

Faut-il justifier chaque équivalence ?

guiguiche
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Re: Serie

Message par guiguiche »

Tolbo a écrit :$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge
Les termes généraux sont équivalents.

Pour l'autre, un équivalent du terme général est $\dfrac{1}{n^{\alpha+1}}$.
On conclut avec Riemann.
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Tolbo
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Re: Serie

Message par Tolbo »

Oui je pensais que si les termes généraux etaient équivalent en l'infini il en serait de même pour les séries mais après réflexion je me rends bien compte que non.

kilébo
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Re: Serie

Message par kilébo »

Tolbo a écrit :$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$
Ce genre de chose se voit à l'oeil nu ?

Moi, j'aurais branché le microscope...

Amicalement,
Vincent.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.

balf
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Re: Série

Message par balf »

Oui (je ne sais plus quelle était la question, mieux vaut positiver... ; ah ! l'œil nu). C'est parce que $n^{1/n}$ tend vers 1, donc son carré aussi.

B.A.

kilébo
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Re: Série

Message par kilébo »

Ah oui, tu as raison mais j'avoue que, pour moi, cela n'avait rien d'évident.

Tout comme $\dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \dfrac{1}{n} \Rightarrow \sum \dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ n'avait rien d'évident pour moi en première lecture.

Mais j'ai compris maintenant (enfin j'espère ;)) : tu parles de l'équivalence des sommes partielles sont équivalentes, car divergentes et de termes généraux équivalents.

Amicalement,
Vincent.
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balf
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Re: Série

Message par balf »

C'est le critère de convergence par équivalents pour les séries à termes positifs : elles convergent ou elles divergent simultanément.

B.A.

Tolbo
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Re: Série

Message par Tolbo »

Et pour le deuxième avec un DL voila ce que j'obtiens :

$\sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}=\sum \dfrac{1}{n.(n+o(n))^2}=\sum \dfrac{1}{n.(n^2+o(n))}=\sum \dfrac{1}{n^3+o(n)}$

donc ça converge

kojak
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Re: Série

Message par kojak »

bonjour,

Ecrire ce genre de chose est pour moi une grosse énormité :D A partir du moment où tu écris $\sum$ ça signifie pour moi que ça converge.... donc ça ne va pas du point de vue de la rédaction :!:

Il faut seulement regarder le terme général c'est à dire $\dfrac{1}{n\sin^2 n}$.

De plus es tu sûr de $\sin^2 n=n^2+o(n)$ : tu as trouvé ça où :?:
Pas d'aide par MP.

Tolbo
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Re: Série

Message par Tolbo »

je pensais que le $\sum $ indiquer seulement que c'était une somme.

Et pour le sinus et bien j'ai fais l'absurdité d'utiliser le DL en zéro pour m'en servir lorsque ça tend vers l'infini