[Histoire] L'infini en mathématiques

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Tryphon
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Message par Tryphon »

La deuxième.

La 3ème est trop mal formulée pour que je l'écrive où que c soit...

MB
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Message par MB »

Tryphon a écrit :La 3ème est trop mal formulée pour que je l'écrive où que c soit...
Oui, la troisième est mal formulée, mais je l'avais traduite par : $0,999 \ldots = \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} 1-10^{-n}=1$.
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Zaim KHELIFI
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ce n'est pas possible ...

Message par Zaim KHELIFI »

j'aimerais savoir si vous faites la diffirence entre "a(x)=b" et "lim a(x)=b", la premier signifie que a(x) est b, la deuxiéme signifie que a tend ou converge vers b sans qu'ils soient obligatoirement égales.

MB
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Re: ce n'est pas possible ...

Message par MB »

Zaim KHELIFI a écrit :j'aimerais savoir si vous faites la diffirence entre "a(x)=b" et "lim a(x)=b", la premier signifie que a(x) est b, la deuxiéme signifie que a tend ou converge vers b sans qu'ils soient obligatoirement égales.
Oui, bien sûr. Simplement, $0,999 \ldots$ ne se définit que par une limite. Si on note $a$ ce nombre et $a_n=1-10^{-n}$, on a : $a = 0,999 \ldots = \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} 1-10^{-n}= \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 1$. Je ne peux pas être plus clair : il ne faut donc pas confondre $a_n$ et $a$.
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Tryphon
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Message par Tryphon »

Et remarque bien que :

$\lim\limits_{y\rightarrow x}a(y) = a(x) = b$


signifie que $a$ est continue en $x$.

Zaim KHELIFI
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Message par Zaim KHELIFI »

Bien jouer, mais que pensez vous si on pouvait définir un intervalle ouvert ou fermé borné par 1 et le fameux 0.9999...., ou plus clairement qu'il y a une infinité de nombres réels.

MB
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Message par MB »

Bah on ne peut pas puisque $0,999\ldots = 1$.
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Tryphon
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Message par Tryphon »

Et sinon, bien sûr qu'il y a une infinité de nombres réels. D'ailleurs ça n'a rien à voir avec le début de ta phrase.

Zaim KHELIFI
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Message par Zaim KHELIFI »

oops pardon, j'ai oublié de continuer ma phrase, je veux dire qu'il y a une infinité de nombre réels comprient entre 0.999... et 1.

MB
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Message par MB »

Zaim KHELIFI a écrit :oops pardon, j'ai oublié de continuer ma phrase, je veux dire qu'il y a une infinité de nombre réels comprient entre 0.999... et 1.
C'est que que j'avais cru comprendre. Cependant, ce n'est pas possible, puisque les deux nombres sont égaux (en fait ce sont deux écritures du même nombre). De même, il n'y a pas une infinité de réels entre $2$ et $2,00$. Par contre, il existe bien une infinité des réels entre deux nombres différents.
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Zaim KHELIFI
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Message par Zaim KHELIFI »

c'est pas possible, je répète : si on peut trouver au moins un nombre réel compris entre 0.999... et 1 et différent de ces deux nombres alors => 0.999...<>1.
OK ?

MB
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Message par MB »

Zaim KHELIFI a écrit :si on peut trouver au moins un nombre réel compris entre 0.999... et 1 et différent de ces deux nombres alors => 0.999...<>1.
Oui, mais justement on ne peut pas ! (ils sont égaux)
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Tryphon
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Message par Tryphon »

Pas mieux que MB (en base 11, à la limite :P )

nirosis
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Message par nirosis »

Il n'y a pas à tortiller : 0,999... = 1

Zaim KHELIFI
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Message par Zaim KHELIFI »

Hi, Je m’excuse, vous avez raison. Je suis trop maniac donc je n'ai pas pu assimiler que 0.999...= lim(1-10^-n) signifie que 0.999...=1 puisque 1=lim(1-10^-n).

Jedai
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Message par Jedai »

En fait la définition donnée par le dico de Nightmare omet de préciser que la suite $a_n$ est unique dans l'ensemble des suites non-stationnaire en 9... Dans cet ensemble, il n'y a plus d'ambiguité de représentation, même pour les nombres décimaux ($\mb{D}$ n'est pas si ridicule, puisqu'il s'agit tout de même d'un anneau, et ça permet d'introduire la notion d'écriture décimale... De toute façon, on en est plus à une approximation près en Maths de Primaire/Collège/Lycée ! :roll: ).

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WydD
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Message par WydD »

Pour continuer ce topic, je voudrais signaler que dans la théorie des nombres surréels de Conway, il existe un nombre entre 0.999999.... et 1.

Plus exactement, il définit un nombre $\varepsilon$, étant plus petit que n'importe quel nombre, mais plus grand que 0...

Bien sûr, nous ne sommes plus dans le cadre de l'écriture décimale, mais tout de même :p
Il n'y a pas besoin d'être fils spirituel de Gauss, Cantor et Euler pour montrer que cette série diverge ...

MB
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Message par MB »

WydD a écrit :Plus exactement, il définit un nombre $\varepsilon$, étant plus petit que n'importe quel nombre, mais plus grand que 0...
On peut savoir comment ? (je connais pas cette théorie)
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WydD
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Message par WydD »

Le très connu Donald Knuth en a fait une petite histoire de cette théorie,

Vous pourrez la trouver ici.

L'idée c'est qu'il se base sur la représentation d'un nombre en tant que deux ensembles, gauche et droite. Il définit ensuite une relation d'ordre sur ces ensembles (je ne détaille pas Knuth l'a très bien fait) et on obtient au bout de quelques pages et une bonne compréhension des nombres surréels : $\omega$ représentant un nombre plus grand que tous les autres, et $\varepsilon$ l'inverse, i.e. : un nombre différent de 0 tout en étant plus petit que tout autre nombre.

Cette théorie est très intéressante tout en restant très abordable, il n'y a pas de grande théorie des ensembles mais juste une construction des nombres tout a fait édifiante.
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Tryphon
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Message par Tryphon »

C'est une présentation (j'hésite à utiliser le mot modèle, ne maîtrisant pas vraiment la théorie des ensembles) de l'analyse non standard, non ?