[MPSI] Étude d'une série

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[MPSI] Étude d'une série

Message par Invité »

Bonjour,
J'ai ici un exercice qui me pose problème :
http://img77.imageshack.us/img77/1253/exomaths1zm9.jpg

J'ai pu résoudre la première question en posant une fonction f telle que f(x) : (x^(2k-1))/(2k-1),
mais je n'arrive pas à comprendre comment déduire la limite de la série de l'inégalité que l'on nous donne.
J'ai également essayé d'entrevoir l'ombre d'une solution en étudiant la série comme somme des termes consécutifs d'une suite, mais sans succès.

Merci donc d'avance pour votre aide ...

kilébo
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par kilébo »

Attention la question n'est pas de déterminer la limite mais de prouver que celle ci existe et d'en trouver un majorant.

Cela change tout.

Amicalement,
Vincent.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.

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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par Invité »

Ah, d'accord.
Puis-je remplacer chaque membre de l'inégalité par la série de terme général correspondant (celle du milieu donnant une somme téléscopique), et remplacer la première par celle voulue en changeant n ? ou p ?

kilébo
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par kilébo »

Sans avoir été plus loin, je pense qu'il s'agit d'utiliser un théorème de comparaison entre série de termes positifs : par ex. si $0 \leq u_n \leq v_n$ et que la série de terme général $v_n$ converge, celle de terme général $u_n$ convergera aussi.

Amicalement,
Vincent.
PS : pour la première partie de la question, il fallait utiliser le théorème des accroissements finis. C'est ce que tu as fait ?
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.

Invité
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par Invité »

L'inégalité des accroissements finis est bien la suivante :
si f'(x) est minorée par m et majorée par M,
alors on a, pour tout a et b tels que b>a
m(b - a) < f(b) - f(a) < M(b - a)

Si c'est le cas, c'est ce que j'ai utilisé.

J'ai effectivement pensé à cette comparaison de série, mais la suite que l'on étudie ne se trouve pas au centre de l'inégalité mais sur les côtés, ce pourquoi je voulais transformer celle de gauche, mais cela me fait oublier le terme majorant de la somme et je ne suis pas sûr que mon raisonnement se tienne ...

balf
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par balf »

Effectivement, je n'utiliserais que l'inégalité de gauche, et montrerais que la série du milieu converge en montrant qu'elle est $O\big(\frac{1}{p^{2k}}\big)$.

B.A.

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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par Invité »

Je peux donc écrire $\displaystyle \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{{(p+1)}^{2k}}=\sum_{p=2}^{n+1} \frac{1}{p^{2k}}$ ?
Mais il ne s'agit pas de la somme que l'on étudie ... et je ne peux pas faire partir p de 0 puisque cela reviendrait à diviser par 0 dans le terme central de l'inégalité :|

balf
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par balf »

On peut parfaitement changer un nombre fini de termes d'une série sans changer sa nature.

B.A.

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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par Invité »

Oups, je voulais citer mon message, et à la place je l'ai édité ... :oops:
Dernière modification par Invité le samedi 20 septembre 2008, 16:59, modifié 2 fois.

balf
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par balf »

« Sa nature », c'est convergente ou divergente. Ceci dit, pour la majoration c'est vrai de façon évidente s'il s'agit bien d'un majorant pour toutes les sommes partielles des séries.

B.A.

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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par Invité »

Donc si j'ai bien compris, en montrant que $\displaystyle \sum_{p=2}^{n+1} \frac{1}{{p}^{2k}}$ converge, cela revient à le montrer pour $\displaystyle \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{{p}^{2k}}$, mais le majorant diffère.
Pour le majorant, peut-on montrer $\displaystyle \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{{p}^{2k}} < n$ puisque $p \in \N^*$ et $k \in \N^*$ et $\frac{1}{p^{2k}} < 1$ ?

balf
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par balf »

J'ai plutôt tendance à raisonner en termes de $O$ (notation de Landau), ce qui évite de se tracasser avec les valeurs précises des majorants. Maintenant, peut-être qu'en MPSI, il faut détailler davantage et trouver une constante $C$ telle que
$\dfrac{1}{2k-1}\Big(\dfrac{1}{p^{2k-1}}-\dfrac{1}{(p+1)^{2k-1}}\Big)\leqslant \dfrac{1}{p^{2k}}$.

B.A.

balf
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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par balf »

Rectification : $\leqslant C\cdot\dfrac{1}{p^{2k}}$.

B.A.

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Re: [MPSI] Étude d'une série

Message par Invité »

Euh ... je ne crois pas avoir entendu parler de ces notations ...
Ne puis-je pas simplement montrer que les termes de$\displaystyle \sum_{p=1}^{n} \dfrac{1}{2k-1}\Big(\dfrac{1}{p^{2k-1}}-\dfrac{1}{(p+1)^{2k-1}}\Big)$ s'annulent les uns les autres, ne laissant que le premier et le dernier, puis faire tendre n vers l'infini pour montrer que cette somme converge ?