Fonction réciproque

[M@rion]

Quelqu'un peut-il me donner une définition de la "fonction réciproque" avec un exemple simple, comme la proportionnalité notamment s'il vous plaît ?

[guiguiche]

Exemples de fonctions réciproques :
- situation de proportionnalité : $x\mapsto2x$ (de $\R$ dans $\R$) admet pour fonction réciproque $x\mapsto\dfrac12x$ (de $\R$ dans $\R$).
- autre situation classique : $x\mapsto x^2$ (de $[0,+\infty[$ dans $[0,+\infty[$) admet pour fonction réciproque $x\mapsto\sqrt{x}$ (de $[0,+\infty[$ dans $[0,+\infty[$).
- ou encore : $x\mapsto e^x$ (de $\R$ dans $]0,+\infty[$) admet pour fonction réciproque $x\mapsto\ln(x)$ (de $]0,+\infty[$ dans $\R$).

[guiguiche]

Pour la définition :
Une application $u$ d'un ensemble $E$ à valeurs dans un ensemble $F$ admet une application réciproque si et seulement tout élément de l'ensemble d'arrivée $F$ admet un unique antécédent dans l'ensemble de départ $E$, c'est à dire que: $\forall y\in F,\;\exists!x\in E\;/\;f(x)=y$.
La fonction réciproque est alors la fonction notée $u^{-1}$, définie sur $F$, à valeurs dans $E$ et telle que $u(u^{-1}(y))=y$ pour tout $y\in F$ et $u^{-1}(u(x))=x$ pour tout $x\in E$.

[M@rion]

Merci, mais le logarythme népérien, je ne connais pas encore. Quant à la définition, il me faudrait une petite explication de texte, mais je ne veux pas abuser de votre gentillesse, donc je vais me documenter un peu et poser les questions après :D Merci encore

[rebouxo]

Pour la définition :
Une application $u$ d'un ensemble $E$ à valeurs dans un ensemble $F$ admet une application réciproque si et seulement tout élément de l'ensemble d'arrivée $F$ admet un unique antécédent dans l'ensemble de départ $E$, c'est à dire que: $\forall y\in F,\;\exists!x\in E\;/\;f(x)=y$.
La fonction réciproque est alors la fonction notée $u^{-1}$, définie sur $F$, à valeurs dans $E$ et telle que $u(u^{-1}(y))=y$ pour tout $y\in F$ et $u^{-1}(u(x))=x$ pour tout $x\in E$.

C'est vrai que là il fait un peu fort l'ami Guiguiche :D Peut-être à cause de ton profil. C'est une définition de post-bac. Mais vu ta remarque, tu ne dois pas avoir le bac ?

Pour qu'une fonction $f$ admette une fonction réciproque $g$ sur un intervalle, il faut que tout nombre admet au plus un unique antécédent par la fonction $f$.

Dans la figure ci-dessous, le point $M$ a pour coordonnées $(x,y)$ avec $y = f(x)$. Si on regarde uniquement les antécédents appartenant à $\R^+$, $y$ en admet un seul. On peut donc définir une fonction $g$ qui associe à tout nombre $y$ un réel $x$ : $g(y) = x$. $g$ est la fonction réciproque de $f$.
Ici, $f(x) = x^2$, la fonction réciproque est donc la fonction racine carrée.

On a la propriété $g(f(x)) = x $ (sous réserve que $x$ et $f(x)$ soient dans des intervalles où $f$ et $g$ sont définis).

Autre exemple de fonctions réciproque, les touches $\cos^{-1}$ (ou Acos) de ta calculatrice. Les fonctions affines sont des fonctions bien sympa, puisqu'elles ont (presque toutes) des fonctions réciproques.

Olivier

[M@rion]

C'est vrai que là il fait un peu fort l'ami Guiguiche :D Peut-être à cause de ton profil. C'est une définition de post-bac. Mais vu ta remarque, tu ne dois pas avoir le bac ?

Les profils ne permettent pas de distinguer les différentes filières, par ailleurs, ce n'était pas un reproche, c'est juste que je ne suis pas encore assez avancée pour apprécier ces connaissances à leur juste valeur.

Merci pour la réponse que je vais examiner avec attention.

[guiguiche]

C'est vrai que là il fait un peu fort l'ami Guiguiche :D Peut-être à cause de ton profil. C'est une définition de post-bac. Mais vu ta remarque, tu ne dois pas avoir le bac ?

Les profils ne permettent pas de distinguer les différentes filières, par ailleurs, ce n'était pas un reproche, c'est juste que je ne suis pas encore assez avancée pour apprécier ces connaissances à leur juste valeur.

Merci pour la réponse que je vais examiner avec attention.

J'ai mis différents niveau d'exemple (j'avais un peu hésité pour le dernier) ne sachant pas jusqu'où aller. J'ai bien fait de m'arrêter ici.
Donc ces exemples sont à déguster tranquillement M@rion.

[Valvino]

La lecture de cet article peut également être utile : http://fr.wikipedia.org/wiki/Applicatio ... A9ciproque

[M@rion]

Merci bien.