Fonction définie par une intégrale

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Tunaki
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Fonction définie par une intégrale

Message par Tunaki »

Bonsoir !

On considère la fonction $f(x)=\ds\int_0^{+\infty}\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}\,\text{d}t$.
On a montré que $f$ existe pour tout $x$ dans $\R$ et on a aussi montré que $\forall x>0, f''(x)=f(x)$.

La question suivant est de montrer que $\forall x\in\R, f(x)=\dfrac{\pi}{2}e^{-|x|}$.
C'est là que je ne comprends pas. Avec ce $f$, on aurait $f'$ non continue en 0.
Or, on a bien $\left|\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}\right|\le \dfrac{1}{1+t^2}$. À ce que je sache, $t\mapsto \dfrac{1}{1+t^2}$ est une fonction intégrable sur $\left[0,+\infty\right]$ et $g(x,t)=\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}$ est continue sur $\R\times\R^{+}$ donc d'après le théorème de dérivation sous le signe somme, on aurait $f$ de classe $C^{1}$ sur $\R$, ce qui n'est pas le cas !

Je dois faire une erreur monstrueuse à un endroit mais je ne vois pas où... Pouvez-vous m'expliquer ?

Arthur Accroc
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par Arthur Accroc »

Tunaki a écrit :Bonsoir !

On considère la fonction $f(x)=\ds\int_0^{+\infty}\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}\,\text{d}t$.
On a montré que $f$ existe pour tout $x$ dans $\R$ et on a aussi montré que $\forall x>0, f''(x)=f(x)$.
Ça m'intéresserait de savoir pourquoi $f''(x)=f(x)$...
Tunaki a écrit :La question suivant est de montrer que $\forall x\in\R, f(x)=\dfrac{\pi}{2}e^{-|x|}$.
C'est là que je ne comprends pas. Avec ce $f$, on aurait $f'$ non continue en 0.
Or, on a bien $\left|\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}\right|\le \dfrac{1}{1+t^2}$. À ce que je sache, $t\mapsto \dfrac{1}{1+t^2}$ est une fonction intégrable sur $\left[0,+\infty\right]$ et $g(x,t)=\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}$ est continue sur $\R\times\R^{+}$ donc d'après le théorème de dérivation sous le signe somme, on aurait $f$ de classe $C^{1}$ sur $\R$, ce qui n'est pas le cas !

Je dois faire une erreur monstrueuse à un endroit mais je ne vois pas où... Pouvez-vous m'expliquer ?
Bin oui. Les hypothèses que tu cites permettent juste de prouver que $f$ est continue sur $\R$, ce qui est vrai. Par contre, la dérivée ne converge pas uniformément sur $\R$, mais seulement sur des intervalles de la forme $[a,+\infty[$ si je ne m'abuse. Donc on ne sait rien de la dérivée en $0$.

Et il se trouve que, $f$ étant paire, et vérifiant $f''=f$ sur $]0,+\infty[$, on obtient $f(x)=f(0)e^{-x}$ sur $[0,+\infty[$, et $f(x)=f(-x)$ sur $]-\infty,0[$. Tout ce qui est dit, quoi...
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Arthur Accroc

guiguiche
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par guiguiche »

Ca ne serait pas plutôt : $f''(x)=x^2f(x)$ ?
Arthur Accroc a écrit :Et il se trouve que, $f$ étant paire, et vérifiant $f''=f$ sur $]0,+\infty[$, on obtient $f(x)=f(0)e^{-x}$ sur $[0,+\infty[$, et $f(x)=f(-x)$ sur $]-\infty,0[$. Tout ce qui est dit, quoi...
Je n'ai pas compris le $f''=f\;\Rightarrow\;\forall x\geqslant0,\;f(x)=f(0)e^{-x}$
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

Arthur Accroc
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par Arthur Accroc »

guiguiche a écrit :Ca ne serait pas plutôt : $f''(x)=x^2f(x)$ ?
Bin justement, ça m'intéresse de connaître la démonstration, mais je ne pense pas que ce soit $f''(x)=x^2f(x)$, on dérive l'intégrande par rapport à $x$, pas par rapport à $t$ !
guiguiche a écrit :
Arthur Accroc a écrit :Et il se trouve que, $f$ étant paire, et vérifiant $f''=f$ sur $]0,+\infty[$, on obtient $f(x)=f(0)e^{-x}$ sur $[0,+\infty[$, et $f(x)=f(-x)$ sur $]-\infty,0[$. Tout ce qui est dit, quoi...
Je n'ai pas compris le $f''=f\;\Rightarrow\;\forall x\geqslant0,\;f(x)=f(0)e^{-x}$
Tu ne l'as pas compris parce que c'est une ânerie : les solutions de l'équation $f''=f$ sont bien entendu les combinaisons de $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto e^{-x}$, i.e. les fonctions de la forme $f(x)=Ae^x+Be^{-x}$.

L'existence d'une limite finie en $+\infty$ (la fonction se majore facilement pas $\frac{\pi}{2}$) montre que $B=0$, la valeur en $0$ montre que $A=\frac{\pi}{2}$. On termine en complétant par parité.

Désolé pour la bêtise.
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Arthur Accroc

rebouxo
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par rebouxo »

$f'' = f$ en calculant $f''(x) - f(x)$. Il faut intégrer $\int_0^{+\infty} -cos(xt) dt$ qui doit valoir $0$.

Non ?

Olivier

P.Fradin

Re: Fonction définie par une intégrale

Message par P.Fradin »

Bonjour,

Le calcul de $f''$ n'est pas aussi simple que cela. Pour $x>0$, on peut pose $u=tx$ ce qui conduit à:
$$f(x)=x\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\cos(u)}{x^2+u^2}\,du$$

le théorème de dérivation s'applique alors sans problème (et même autant de fois que l'on veut), on obtient alors:

$$f''(x)=2x\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\cos(u)}{(x^2+u^2)^2}\,du-8x\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{u^2\cos(u)}{(x^2+u^2)^3}\,du$$

deux intégrations bien placées dans la deuxième intégrale donnent $f''=f$.

PS: calculs à vérifier

Arthur Accroc
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par Arthur Accroc »

rebouxo a écrit :$f'' = f$ en calculant $f''(x) - f(x)$. Il faut intégrer $\int_0^{+\infty} -cos(xt) dt$ qui doit valoir $0$.

Non ?
Olivier
Non ! :-) Intégrale grossièrement divergente !
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Arthur Accroc

Tunaki
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par Tunaki »

En fait pour montrer que $f''=f$, on est passé par tout plein de fonctions intermédiaires.
On a posé :
$\forall x\in\R, h(x)=\ds\int_0^{+\infty}\dfrac{t\sin(xt)}{(1+t^2)^2}\,\text{d}t$
$\forall x\in\R,k(x)=\ds\int_0^{+\infty}\dfrac{\cos(xt)}{(1+t^2)^2}\,\text{d}t$

Avec cela, on a montré que :
$\forall x\in\R,\quad xf(x)=2h(x)$
$\forall x\ge 0,\quad h'(x)=f(x)-k(x)$
$\forall x\ge 0, \quad k'(x)=-h(x)$

À partir ce des 3 équations, on en a déduit que $\forall x\in\R, f''(x)=f(x)$
Par contre, la dérivée ne converge pas uniformément sur $\R$, mais seulement sur des intervalles de la forme $[a,+\infty[$ si je ne m'abuse. Donc on ne sait rien de la dérivée en $0$.
Dans mon cours, le théorème de dérivation sous le signe somme, dis clairement qu'avec ce que j'ai vérifié (continuité sur les deux variables + convergence dominée), on a $f$ de classe $C^1$. Ou alors, il y a une subtilité que j'ai raté ???

rebouxo
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par rebouxo »

Arthur Accroc a écrit :
rebouxo a écrit :$f'' = f$ en calculant $f''(x) - f(x)$. Il faut intégrer $\int_0^{+\infty} -cos(xt) dt$ qui doit valoir $0$.

Non ?
Olivier
Non ! :-) Intégrale grossièrement divergente !
AH oui, j'avais regardé vraiment vite fait.

Olivier

Arthur Accroc
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par Arthur Accroc »

Tunaki a écrit : À partir ce des 3 équations, on en a déduit que $\forall x\in\R, f''(x)=f(x)$
Oui, il faut tout cela pour que les intégrales définissant les dérivées successives convergent bien.
Tunaki a écrit : Dans mon cours, le théorème de dérivation sous le signe somme, dis clairement qu'avec ce que j'ai vérifié (continuité sur les deux variables + convergence dominée), on a $f$ de classe $C^1$. Ou alors, il y a une subtilité que j'ai raté ???
Ce ne seraient pas par hasard les hypothèses que doit vérifier la fonction $\dfrac{\partial g}{\partial x}$ ?
\bye

Arthur Accroc

Tunaki
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Re: Fonction définie par une intégrale

Message par Tunaki »

Ce ne seraient pas par hasard les hypothèses que doit vérifier la fonction $\dfrac{\partial g}{\partial x}$ ?
Oups :mrgreen: :oops: Oui, en effet...

Merci de votre aide !! :D