Lien entre valeurs d'adhérence et fermés

[Arthur Accroc]

Bonjour.

On sait que dans un espace métrique, $l$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ si et seulement si $l$ est limite d'une suite extraite de $(u_n)$. D'autre part, en notant ${\rm Adh}(u)$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $u=(u_n)$, la formule :

$${\rm Adh}(u) = \bigcap_{n\in\N} \overline{\{u_p,p\ge n\}}$$

montre que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite à valeurs dans un espace topologique est un fermé.

Ma question : qu'en est-il de la réciproque ? Plus précisément, est-ce que tout fermé est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite, et cela est-il valable dans un espace topologique quelconque, ou bien seulement dans un métrique ? La première question m'intéresse plus que la deuxième, d'ailleurs.

Si vous avez des pistes, je suis fortement intéressé.

[OG]

Bonjour

Pour toutes ces histoires de passage/retour de la topologie aux suites
la condition est que tout point $x$ possède une base dénombrable de voisinages, ou le première axiome de dénombrabilité.
Pour ta question si on a le 1er axiome de dénombrabilité alors il y a équivalence.

O.G.

[Arthur Accroc]

Bonjour
Pour toutes ces histoires de passage/retour de la topologie aux suites
la condition est que tout point $x$ possède une base dénombrable de voisinages, ou le première axiome de dénombrabilité.
Pour ta question si on a le 1er axiome de dénombrabilité alors il y a équivalence.
O.G.

Salut.

Ma première réaction a été de penser : "Hé m...de, évidemment, une fois de plus, je pose deux questions, la deuxième plus par curiosité qu'autre chose, et la seule réponse que j'obtiens concerne cette deuxième question...".

Et puis après, ta remarque m'a fait gamberger, cette histoire de base dénombrable de voisinages, et je crois que j'ai trouvé une démonstration au moins dans le cas où $E=\R$.

Soit donc $F$ un fermé de $\R$. Définissons la suite $(u_n)$ de la manière suivante :

• notons $U_{1,k}=[k,k+1]$ pour $-1\le k\le 0$, et choisissons $u_0$ un élément quelconque de $F\cap U_{1,-1}$ si celui-ci est non vide. Sinon, dans $F\cap U_{1,0}$.
• Supposons avoir construit les termes $u_0,u_1,\dots,u_p$ dans les intersections de $F$ avec les $U_{i,j}=[j/10^i,(j+1)/10^i]$ pour $i\le n$ et $-i^2\le j\le i^2-1$. Construisons les termes suivants de la suites en choisissant dans chaque $F\cap U_{n+1,j}$ non vide un élément.

On construit ainsi une suite $(u_n)$ dont les valeurs d'adhérences sont visiblement tous les éléments de $F$ (ça resterait à approfondir).

La démonstration s'étend facilement à un $\R$-evn de dimension finie.

D'où les nouvelles questions : cette construction est-elle généralisable à un espace vectoriel normé quelconque ? à un espace métrique quelconque ? A un espace topologique quelconque ? Visiblement, il faut que tout point admette une base dénombrable de voisinages, ce qui est le cas dans les espaces métriques, mais la base permettant de filtrer les éléments de $F$ ne semble pas simple à construire dans ce cas.

Une autre question qui se pose : comment rendre la démonstration ci-dessus intelligible par quelqu'un d'autre que moi ? Je sais, c'est franchement pas clair :-(

[OG]

Je dois partir mais j'ai répondu à la première aussi ?
Reformule ta question SVP ?

O.G.

[Arthur Accroc]

Je dois partir mais j'ai répondu à la première aussi ?
Reformule ta question SVP ?
O.G.

Bin en fait je cherchais une démonstration si possible constructive du fait qu'un fermé dans un espace convenable est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite...

[OG]

Pour cela il en faut plus sur l'espace topologique : second axiome de dénombrabilité
ou l'existence de base dénombrable de voisinage.
Tout espace métrique séparable vérifie cela.
Je ne suis pas spécialiste de topologie, généralement on essaie de définir des propriétés
des espaces topologiques qui font que telle chose naturelle/évidente pour un métrique/normé
reste vraie.
Il y a les e.v.n. et les e.v pour lesquels la topologie est telle que la somme/la multiplication
par un scalaire est continue, etc.

Pour ta question il est clair qu'on a besoin de séparabilité, sinon comme l'espace
tout entier serait l'adhérence d'une suite (dénombrable).

O.G.