Différence entre e^x et exp(x)

[mathématicien]

Bonjour
quel est la différence entre $e^x$ et $exp(x)$
merci

[guiguiche]

aucune.
La fonction exp est l'unique solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=y$ telle que $y(0)=1$.
On montre (c'est un peu technique) alors que $\exp(x)=[\exp(1)]^x$ pour tout réel x. On note alors $e=\exp(1)$ et on obtient finalement que $\exp(x)=e^x$ pour tout réel x.

[mathématicien]

:D Merci

[jlaurens]

C'est une question que les membres du jury du CAPES de mathématiques aiment bien.
Il s'agit en fait de justifier la notation puissance.
Rappelons que la notation puissance est d'abord définie pour $a^n$ où $n$ est entier, en utilisant le produit.
Ensuite on définit $a^{r}$ lorsque $r$ est un nombre rationnel en utilisant les racines $n$ièmes.
Pour la fonction exponentielle, on commence par montrer que $e^x=\exp(x)$ lorsque $x$ est un entier, puis lorsque $x$ est un rationnel.
Mais attention, on ne montre rien pour les exposants non rationnels, c'est là qu'est le piège !
En fait, on étend formellement la notation puissance au cas des exposants non rationnels en posant
$$\forall x \;\mbox{irrationnel}, e^{x}\mathop{=}\limits^{\mbox{\scriptsize déf.}}\exp(x)$$
et plus généralement, on pose
$$\forall x \;\mbox{irrationnel}, a^{x}\mathop{=}\limits^{\mbox{\scriptsize déf.}}\exp(x\ln(a))$$
Ce sont des «bonnes définitions» car les règles de calcul de puissance connues pour les entiers et les rationnels restent valables pour les irrationnels sans modification.

[Tonn83]

Mais attention, on ne montre rien pour les exposants non rationnels, c'est là qu'est le piège !

N'allons pas trop vite ! Si a>1 est fixé alors $r\mapsto a^r$, définie sur les rationnels, est une fonction croissante. On peut alors fort bien définir $x\mapsto a^x$ sans connaitre l'exponentielle:

$f_a(x)=a^x=\sup\{a^r,\, r\leq x, r\in Q\}\, .$

Du coup, il y a quand même quelque chose à démontrer sur les exposants non rationnels ... mais le piège ne se situe pas là ! Quelle est la définition du logarithme ?

[yannek]

Il me semble qu'en général, si $x\in\R$, on définit :

(1) $y=\exp(x)$ comme l'unique solution de l'équation $\ln(x)=y$ : on sait au préalable que $\ln$ est la primitive de $\frac 1 x$ sur $]0,+\infty[$ qui vaut $0$ en $1$ : une étude sommaire (limites aux bornes, variations) de $\ln$ basée sur cette définition permet de montrer que $\ln$ est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $R$.
(2) Le nombre $e=\exp(1)$
(3) Le nombre $e^x$ de la manière habituelle pour les $x$ rationnels ($e>0$).

De cette façon, on vérifie que

(4) $\ln(e^x)=x=\ln(\exp(x))$ pour $x$ rationnel, donc que $e^x=\exp(x)$.

Enfin, la fonction $e^x$ définie par limite supérieure

$f_a(x)=a^x=\sup\{a^r,\, r\leq x, r\in Q\}\, .$

Du coup, il y a quand même quelque chose à démontrer sur les exposants non rationnels ... mais le piège ne se situe pas là ! Quelle est la définition du logarithme ?

est une fonction convexe (ici c'est assez joli : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycar ... node3.html) donc continue. La fonction $\exp$ est également continue (comme réciproque de $\ln$). Ces deux fonctions coïncident sur l'ensemble dense des rationnels, donc sont égales.

Celà dit, il faut bien admettre qu'au Lycée, on définit :

$$\forall x \;\mbox{irrationnel}, a^{x}\mathop{=}\limits^{\mbox{\scriptsize déf.}}\exp(x\ln(a))$$

et on vérifie que cette définition étendue aux rationnels coïncide avec la notion classique de puissance. En clair, on pose $e^x=\exp(x)$.

[Tonn83]

Pour moi, "en général", l'application exponentielle se définit au moyen de séries entières:

$$\exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\, .$$

Cette définition me semble de loin la plus économique. En utilisant la formule du binome, il n'est pas difficile avec cette définition d'obtenir:

$$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\, ,$$

formule qui me semble légèrement plus pénible à établir avec l'approche donnée par yannek.

Plus généralement, la définition ci-dessus a de nombreux avantages. Elle est valable sur le corps des nombres complexes, alors même que le logarithme n'est pas bien défini. On définit de même l'exponentielle pour les opérateurs par exemple (ou dans des algèbres normées complètes, ...). Aussi permet-elle de voir l'exponentielle comme une série formelle en combinatoire.

[kojak]

Bonjour,

Il me semble qu'en général, si $x\in\R$, on définit :
(1) $y=\exp(x)$ comme l'unique solution de l'équation $\ln(x)=y$ : on sait au préalable que $\ln$ est la primitive de $\frac 1 x$ sur $]0,+\infty[$ qui vaut $0$ en $1$

Ben tout dépend à quel niveau et à quelle classe tu l'enseignes : si c'est en Terminale S, tu as perdu si c'est en Terminale ES, STI ou autre Terminale, c'est OK et encore, sous réserve...

Donc toute cette bataille d' "experts" ne veut pas dire grand chose

[Nouillette]

Bonjour,

Une petite curiosité comme ça. Est-ce que la différence ne serait pas que exp désigne la fonction, tandis que e^... désigne le nombre ?

[Framboise]

Bonjour,

Il faudrait déjà savoir quelle est la "bonne" définition de l'un et de l'autre. Cela reste beaucoup une question de convention.
Reste ensuite à démontrer l'équivalence ou l'égalité des deux définitions.
En informatique on ne se pose pas tant de question, ce n'est qu'une variante d'écriture.

[francois]

Mais attention, on ne montre rien pour les exposants non rationnels, c'est là qu'est le piège !

N'allons pas trop vite ! Si a>1 est fixé alors $r\mapsto a^r$, définie sur les rationnels, est une fonction croissante. On peut alors fort bien définir $x\mapsto a^x$ sans connaitre l'exponentielle:

$f_a(x)=a^x=\sup\{a^r,\, r\leq x, r\in Q\}\, .$

Certes, on peut définir $a^x$ avec $x$ irrationnel comme tu le dis Tonn83 (avec $a>1$), mais on le fait plutôt avec l'exponentielle (comme l'a bien expliqué jlaureuns). D'ailleurs, la définition que tu proposes avec la borne sup n'est pas valable avec $0<a<1$ et il faut j'imagine passer à la borne inf. Alors qu'avec l'exponentielle, on n'a pas besoin de dissocier les cas $0<a<1$ et $a>1$.

Donc on pourrait se passer de l'exponentielle pour définir $a^x$ avec $x$ irrationnel comme tu le dis, mais malgré tout, dans les livres que j'ai pu consulter, c'est avec l'exponentielle qu'on le fait. De plus, toujours dans les livres que j'ai lu, l'exponentielle est une fonction définie sur les complexes par sa série entière bien connue et on montre que, vue comme fonction de $\R$ dans $\R^{*+}$, c'est une bijection et on appelle $\ln$ sa réciproque.

[francois]

Donc toute cette bataille d' "experts" ne veut pas dire grand chose

En fin de compte tu as raison. La construction que j'ai présentée dans mon message précédent est celle que j'ai rencontrée dans un livre de H. Cartan et aussi dans un livre de W. Rudin. Mais il y a d'autres constructions possibles tout à fait équivalentes, alors...