Transformée de fourier d'une fonction à 2 variables

[mathematimaniac]

Bonjour à tous,

Je suis content d'être membre de magnifique forum.
J'aimerai savoir comment se présente la transformée de Fourier (si elle existe) d'une fonction réelle de 2 variables réelles ?

et s'il y a une généralisation de cette transformée pour :
1) des fonctions à valeurs complexes et de variables réelles
2) des fonctions à valeurs complexes et de variables complexes

Merci

[mathematimaniac]

merci pour vos réponses :(

pas de problèmes, voila une réponse ici sur le forum les-mathematiques.net.

mon nouveau problème est que je trouve certains auteurs font la transformée de Fourier avec une seule variable pour une fonction à 2 variables. Est-ce justifié, correct ... ?

Merci.

[MB]

mon nouveau problème est que je trouve certains auteurs font la transformée de Fourier avec une seule variable pour une fonction à 2 variables.

C'est à dire ? Tu as un exemple ?

[Tonn83]

mon nouveau problème est que je trouve certains auteurs font la transformée de Fourier avec une seule variable pour une fonction à 2 variables. Est-ce justifié, correct ... ?

Pour une fonction d'une variable réelle $f$, la transformée de Fourier, si elle existe, est donnée par :

$F(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)exp(-2i\pi xy)dy$

avec éventuellement une constante de normalisation devant (point qui devient réellement important quand on calcule la transformée inverse). En dimension supérieure on est tenté de remplacer le produit xy par un produit euclidien.

Sur un espace euclidien E, la transformée de Fourier se définirait alors par :

$F(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)exp(-2i\pi <x|y>)dy$

où dy est la mesure de Lebesgue.

Cependant, il arrive qu'on souhaite effectuer une transformée de Fourier seulement en certaines variables. Par exemple, pour une fonction f à deux variables x et t :

$T(f)(t,x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t,y)exp(-2i\pi xy)dy$

On a effectué la transformée de Fourier seulement sur la variable x. C'est très avantageux pour les équations aux dérivées partielles. Ce sont des équations qui font intervenir les dérivées partielles des fonctions à plusieurs variables. Avec les notations ci-dessus :

$T(\partial_xf)=2i\pi x T(f)$ et $T(\partial_t f)=\partial_t T(f)$

Ce calcul se justifie à l'aide du théorème de convergence dominée, il faut regarder les hypothèses sur f et être soigneux. De la sorte, on ramène une EDP à une équation différentielle avec un paramètre réel x. J'espère que cette réponse est l'explication que tu attends.

[mathematimaniac]

Exactement, en plein dans le mille;
Merci pour vous deux.