Somme avec le signe de sommation

[paspythagore]

Bonjour,
j'entame une deuxième année de licence de maths avec bien des lacunes. J'ai du mal à faire des opérations avec $\sum $ .

Je n'arrive pas à comprendre par exemple :

$ v_{n} = \ds\sum_{k=p_{n - 1}+1}^{p_{n}} u_{n} $, on a : $s_{n} = \ds\sum_{k=0}^{n} u_{n}$ et $ \sigma _{n} = \ds\sum_{k = 0}^{n} v_{n}$

Avec ça, on peut dire que : $ \sigma_{n} = s_{p_{n}}$

A moins que j'ai oublié quelque chose.

Ce qui est sûr c'est que je ne suis pas à l'aise avec les $ \sum $ surtout losrqu'on joue avec des 0 à n mélangés avec des 0 à k puis des n + 1 à n + 1 + k.

Merci de votre aide, ma question principale est comment bien utiliser les $ \sum $ ?
Existe t-il un tutoriel la dessus.

[MC]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à comprendre par exemple :

$v_{n} = \ds\sum_{k=p_{n - 1}+1}^{p_{n}} u_{n}$ , on a : $s_{n} = \ds\sum_{k=0}^{n} u_{n}$ et $\sigma _{n} = \ds\sum_{k = 0}^{n} v_{n}$

Avec ça, on peut dire que : $\sigma_{n} = s_{p_{n}}$

Effectivement, c'est normal que tu ne comprennes pas ces écritures parce qu'elles sont incorrectes et n'ont pas de sens. Si on écrit $s_{n} = \ds\sum_{k=0}^{n} u_{k}$, (remarque bien $u_k$ et pas $u_n$) alors ceci a bien un sens : ça se lit "somme de tous les $u_k$ pour $k$ variant de 0 à $n$. Autrement dit, $s_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$. De même, si on écrit $v_{n} = \ds\sum_{k=p_{n - 1}+1}^{p_{n}} u_{k}$ (de nouveau, $u_k$ et pas $u_n$), ça veut dire "somme de tous les $u_k$ pour $k$ variant cette fois-ci de $p_{n-1}+1$ à $p_n$, autrement dit $v_n=u_{p_{n-1}+1} + u_{p_{n-1}+2}+\cdots + u_{p_n}$.
Avec ça, si $\sigma _{n} = \ds\sum_{k = 0}^{n} v_{k}$ (encore une fois, $v_k$ et pas $v_n$, alors
$$\sigma_n = v_0 +v_1 +\cdots +v_n = \sum_{k=p_0+1}^{p_1} u_k + \sum_{k=p_1+1}^{p_2} u_k + \cdots+\sum_{k=p_{n-1}+1}^{p_n} u_k\;,$$
et tu vois qu'on fait bien la somme de tous les $u_k$ pour $k$ allant de $p_0+1=0$ (je suppose) à $p_n$. Autrement dit,
c'est $\sum_{k=0}^{p_n} u_k = s_{p_n}$

Le $k$ dans les formules de sommation est ce qu'on appelle "une variable muette". On peut lui donner le nom qu'on veut, mais pas un nom qui figure dans les bornes de la sommation. Tu es peut-être plus familier avec l'écriture des intégrales? Le $k$ dans les sommes ci-dessus joue le même rôle que le $t$ dans $\ds F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$. J'espère que tu vois bien dans ce cas qu'il serait incorrect d'écrire $\ds F(x) = \int_0^x f(x)\,dx$.

Cordialement,

MC

[paspythagore]

Bonjour,
je vais revoir la chose avec tes explications. Je n'ai pas vu ta réponse de suite car je pensais que l'on recevait un mél. lorsque une réponse était apportées.
Si j'ai d'autres exemples de sommation à éclaircir, je peux redéposer ?

En tout cas Merci.

[MC]

Bien sûr tu peux... sans garantie de réponse!

MC

[rebouxo]

Bonjour,
je vais revoir la chose avec tes explications. Je n'ai pas vu ta réponse de suite car je pensais que l'on recevait un mél. lorsque une réponse était apportées.
Si j'ai d'autres exemples de sommation à éclaircir, je peux redéposer ?

En tout cas Merci.

Oui, si tu demandes de suivre le sujet tu reçois une réponse.

Olivier

[paspythagore]

Bonsoir,
donc je continue dans mes questions. l'énoncé de l'exercice dont je vais bientôt avoir la correction est :

On rappelle que : $e = \ds\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k!}$

Montrer que pour tout $n \in \N, sin(2 \pi e n!) = sin(2 \pi v_{n}),$ avec :

$v_{n} = \ds\sum_{k=n+1}^{+ \infty } \dfrac{n!}{k!} = \ds\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)...(n + 1 + k)}$

J'ai toujours le même problème de compréhension de la variable muette présente dans l'expression. Si quelqu'un peut me traduire la question et m'expliquer la solution, ce serait sympa.

[guiguiche]

On rappelle que : $e = \ds\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k!}$

Faux, c'est de $k=0$ à $+\infty$

Montrer que pour tout $n \in \N, sin(2 \pi e n!) = sin(2 \pi v_{n}),$ avec :

$v_{n} = \ds\sum_{k=n+1}^{+ \infty } \dfrac{n!}{k!} = \ds\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)...(n + 1 + k)}$

J'ai toujours le même problème de compréhension de la variable muette présente dans l'expression. Si quelqu'un peut me traduire la question et m'expliquer la solution, ce serait sympa.

Ecris $2\pi e n!$ en 2 sommes (de 0 à n et de n+1 à l'infini) puis calcule son sinus (fonction $2\pi$-périodique).

[paspythagore]

Effectivement, je me suis trompé, j'ai :

$e = \ds\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k!}$

Pour l'exercice, je vais réessayer, merci.

[Tonn83]

... puis calcule son sinus (fonction $2\pi$-périodique).

Ou plutôt, non, ne calcule pas !

Avant de se lancer dans un calcul, il faut toujours se demander où on veut aller.