Arithmétique

[paspythagore]

Bonjour, j'ai besoin d'aide sue la compréhension du vocabulaire.

Est ce que l'ordre des éléments du groupe $\Z / 10 \Z$ est bien 4 avec $\Z / 10 \Z = \{1, 2, 5, 10\}$ ?

Merci de votre aide.

[guiguiche]

$\Z / 10 \Z = \{1, 2, 5, 10\}$ ?

[Valvino]

Je pense qu'il veut parler des éléments inversibles de $\Z/10\Z$.

[balf]

Justement, ceux qu'il énumère, hormis 1, sont des non-inversibles. Et puis, il semble qu'il y ait une confusion entre l'ordre des éléments et l'ordre du groupe : dans les inversibles de Z/10Z, il n'y a pas ques des éléments d'ordre 1 ou 4.

B.A.

[paspythagore]

Effectivement des confusions j'ai du en faire plus d'une. La question que je me pose est quel est l'ordre des éléments du groupe $(\Z/10\Z)^*$
Désolé d'être confus mais du mal à comprendre le vocabulaire de base et ça m'angoisse un peu. Merci à tous ceux qui m'aide à réécrire les choses proprement.

[balf]

Ça dépend des éléments. Pour 1, je pense qu'il n'y a pas de problème... Pour les autres, on les prend les uns après les autres et on calcule leurs puissances successives modulo 10, jusqu'à ce qu'on obtienne 1 mod 10. De toute façon, cet ordre est un diviseur de 4.

B.A.

[paspythagore]

Merci, je vais essayer avec ces indications.

[Tonn83]

Merci, je vais essayer avec ces indications.

Quelques questions pour toi (Paspythagore) :

• Dans un groupe commutatif, qu'est-ce qu'un élément inversible ?
• Quels sont les éléments inversibles du groupe $\Z/10\Z$ ?
• Quels sont les éléments inversibles du groupe $(\Z/10\Z)^*$ ?
• Quel est l'ordre de chacun de ces éléments ?
• Quelle est la table de multiplication de $(\Z/10\Z)^*$ ?

:D

[paspythagore]

Ça fait bientôt 30 heures que je suis sur l'arithmétique et j'ai l'impression de ne toujours rien comprendre. Merci de me proposer un exercice car c'est effectivement ces notions qui m'empêche de "commencer" le cours. Je vais essayer quand même.

Dans un groupe commutatif, qu'est-ce qu'un élément inversible ?

un élément inversible est un élément a qui admet un inverse a' par une loi de composition interne * telle que :
a * a' = a' * a = e (avec e élément neutre de la loi de composition)

Quels sont les éléments inversibles du groupe $\Z/10\Z$ ?

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Quels sont les éléments inversibles du groupe $(\Z/10\Z)^*$ ?

Ce sont les éléments qui sont premiers avec 10 : 1, 3, 7, 9

Quel est l'ordre de chacun de ces éléments ?

L'Ordre d'un élément doit diviser l'ordre du groupe et doit être le plus petit nombre tel que :
si x est l'élément et a l'ordre de celui ci : $x^a=1$
1 est d'ordre 1, 3 est d'ordre 10, 7 est d'ordre 10, 9 est d'ordre 10

$\begin{tabular}{||c||c||c||c||c||c||c||c||c||c||c||}
\hline
none &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\
\hline
0& 0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
\hline
1& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\
\hline
2& 0 &2 &4 &6 &8 &0 &2 &4 &6 &8 \\
\hline
3& 0 &3 &6 &9 &2 &5 &8 &1 &4 &7 \\
\hline
4& 0 &4 &8 &2 &6 &0 &4 &8 &2 &6 \\
\hline
5& 0 &5 &0 &5 &0 &5 &0 &5 &0 &5 \\
\hline
6& 0 &6 &2 &8 &4 &0 &6 &2 &8 &4 \\
\hline
7& 0 &7 &4 &1 &8 &5 &2 &9 &6 &3 \\
\hline
8& 0 &8 &6 &4 &2 &0 &8 &6 &4 &2 \\
\hline
9& 0 &9 &8 &7 &6 &5 &4 &3 &2 &1 \\
\hline
\end{tabular}$

Pas super le tableau :

Code : Tout sélectionner

 \begin{tabular}{||c||c||c||c||c||c||c||c||c||c||c||}
\hline  
none &0  &1  &2 &3  &4  &5  &6  &7  &8  &9 \\
\hline  
0& 0 &0  &0  &0  &0  &0  &0  &0  &0  &0 \\
\hline  
1& 0 &1  &2  &3  &4  &5  &6  &7  &8  &9   \\ 
\hline  
2& 0 &2  &4  &6  &8  &0  &2  &4  &6  &8  \\ 
\hline  
3& 0 &3  &6  &9  &2  &5  &8  &1  &4  &7  \\ 
\hline  
4& 0 &4  &8  &2  &6  &0  &4  &8  &2  &6  \\ 
\hline  
5& 0 &5  &0  &5  &0  &5  &0  &5  &0  &5 \\ 
\hline  
6& 0 &6  &2  &8  &4  &0  &6  &2  &8  &4  \\ 
\hline  
7& 0 &7  &4  &1  &8  &5  &2  &9  &6  &3  \\ 
\hline  
8& 0 &8  &6  &4  &2  &0  &8  &6  &4  &2  \\ 
\hline  
9& 0 &9  &8  &7  &6  &5  &4  &3  &2  &1  \\ 
\hline 
\end{tabular}

Je n'ai pas trop le temps mais en Latex aussi, je veux bien des conseils.

Encore merci à ceux qui m'ont répondu et à Tonn83.

Je n'ai pas pu répondre de suite au dernier message, on a eu une panne de courant d'une heure ou 2 à Toulon.

Salut Alain.

[Tonn83]

Ça fait bientôt 30 heures que je suis sur l'arithmétique et j'ai l'impression de ne toujours rien comprendre. Merci de me proposer un exercice car c'est effectivement ces notions qui m'empêche de "commencer" le cours. Je vais essayer quand même.

Tu sembles pourtant avoir compris pas mal de choses.

Tu as su citer la définition de l'ordre d'un élément et le théorème de Lagrange (l'ordre d'un élément dans un groupe divise son cardinal). Le groupe $(\Z/10\Z)^*$ est de cardinal 4 : tu as listé les 4 éléments du groupes. Les éléments 1, 3, 7 et 9 sont d'ordre 1, 2 ou 4 dans le groupe multiplicatif. Autre remarque : quels sont les opposés de 1, 3, 7 et 9 ? Quels sont leurs inverses ?

• Pourquoi un groupe G à quatre éléments est-il nécessairement commutatif ?
• Quels sont les groupes à quatre éléments ?
• Comment les distinguer rapidement ?

[MC]

Question pour Tonn83 :

* Dans un groupe commutatif, qu'est-ce qu'un élément non inversible ?

[Valvino]

Logiquement, quand on parle des éléments inversibles d'un ensemble $A$, il faut comprendre que $A$ est un anneau unitaire, et que l'on parle des éléments inversibles pour la seconde loi, car dans un groupe, tout élément est inversible par définition.

[Tonn83]

Dans un groupe, tout élément est inversible, par définition. Pourquoi me poser cette question A cause de la formulation des premières questions que j'ai posées ? C'étaient justement des questions, un peu rédigées à la va vite, et je me suis emmêlé les pinceaux entre groupoïde/groupe/éléments/... J'aurais voulu demander ce qu'est un élément inversible ... dans un groupoïde. Toujours est-il, Paspythagore a donné la réponse que j'attendais.

Pour paspythagore : tu as donné la table de loi * dans l'anneau $\Z/10\Z$ et non la table de multiplication de $(\Z/10\Z)^*$ ! Tu aurais dû afficher seulement comme entrées 1, 3, 7 et 9. Et tu remarqueras que cette partie est stable par la multiplication.

[paspythagore]

Bonjour, je te remercie de tes encouragements mais je sais que je suis encore loin du compte, cependant avoir les réponses aux questions que tu m'as posées m'aidera sûrement. J'ai aussi des exos corrigés pour lesquels, je ne comprends pas la réponse..

l'ordre des éléments de $(\Z/10\Z)^*$ :
1 d'ordre 4, 3 d'ordre 2, 7 et 9 d'ordre 1 ?

La bonne table de multiplication de $(\Z/10\Z)^*$, c'est :

$\begin{tabular}{||c||c||c||c||}
\hline
1 &3 &7 &9 \\
\hline
3& 3 &7 &9 \\
\hline
7& 7 &9 &3 \\
\hline
9& 9 &3 &1 \\
\end{tabular}$

Quels sont les opposés de 1, 3, 7 et 9 ?

9, 7, 3, 1

Quels sont leurs inverses ? :

1, 7, 3, 9

* Pourquoi un groupe G à quatre éléments est-il nécessairement commutatif ?
* Quels sont les groupes à quatre éléments ?
* Comment les distinguer rapidement ?:

Je ne sais pas

[Valvino]

Soit $G$ un groupe de cardinal 4. Deux cas possibles : soit $G$ est cyclique et dans ce cas $G$ est isomorphe à..., soit $G$ n'est pas cyclique, et dans ce cas, quels sont les ordres possibles de ses éléments? Donc $G$ est isomorphe à...

[paspythagore]

Soit G un groupe de cardinal 4. Deux cas possibles : soit G est cyclique et dans ce cas G est isomorphe à...,

G et commutatif (tout groupe cyclique est commutatif)

soit G n'est pas cyclique, et dans ce cas, quels sont les ordres possibles de ses éléments?

2 ou 1

Donc G est isomorphe à...

je ne sais pas

[Valvino]

Un groupe fini de cardinal $n<+\infty$ qui est cyclique est isomorphe à $\Z/n\Z$.

Si $G$ (de cardinal 4) n'est pas cyclique, on sait que l'ordre de ses éléments divise l'ordre du groupe, donc effectivement l'ordre des éléments ne peut être que 1 ou 2. Si c'est 1, cela veut dire que l'élément en question est le neutre. Donc pour les trois autres éléments on a $g^2=e_G$. Il n'est pas alors trop difficile de construire un isomorphisme explicite entre $G$ et le groupe de Klein $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$.

[paspythagore]

Je ne sais pas du tout poursuivre ton raisonnement, ni répondre aux questions posées. G devrait être isomorphe à $\Z/4\Z$

Si G (de cardinal 4) n'est pas cyclique, on sait que l'ordre de ses éléments divise l'ordre du groupe, donc effectivement l'ordre des éléments ne peut être que 1 ou 2. Si c'est 1, cela veut dire que l'élément en question est le neutre. Donc pour les trois autres éléments on a g^2=e_G. Il n'est pas alors trop difficile de construire un isomorphisme explicite entre G et le groupe de Klein $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$.

Au fait si quelqu'un a le temps de me donner les réponses "types" à toutes les questions pour que je fasse le point c'est avec plaisir d'autant que j'ai un devoir à rendre (pour aujourd'hui...) que je n'ai pas commencé mais je compte avoir terminé jeudi.

[paspythagore]

Il n'est pas alors trop difficile de construire un isomorphisme explicite entre G et le groupe de Klein $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$.

Est ce qu'on peut dire que d'après le théorème chinois que le groupe $\Z/4\Z$ est isomorphe à $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$, et que U(0) = (0,0), U(1) = (0,1), U(2) = (1,0) et U(3) = (1,1) ?

[Valvino]

Le théorème chinois ne s'applique pas ici, car 2 n'est pas premier avec lui-même. $\Z/4\Z$ n'est pas isomorphe à $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$.