Arithmétique

[balf]

On peut même préciser qu'ils ne peuvent être isomorphes pour une raison évidente : les générateurs de Z/4Z sont d'ordre 4, et les éléments du groupe de Klein sont tous d'ordre 1 ou 2. À isomorphisme près, ce sont les seuls groupes d'ordre 4.

B.A.

[paspythagore]

Si quelqu'un peux me donner les réponses à toutes les questions, je l'en remercie d'avance.

[paspythagore]

Bonjour, merci à ce qui auront le temps de donner les réponses à toutes les questions posées sur ce fil. C'est plus que l'heure, pour moi, de faire le point.

[paspythagore]

Message en double, excusez moi, je n'ai pas vu la deuxième page.

[balf]

Quelques réponses (j'espère qu'il s'agit des bonnes questions) :

Dans le groupe multiplicatif (Z/10Z)*, 1 est d'ordre 1 (c'est le seul), 3 et 7 sont d'ordre 4 (ce sont des générateurs de ce groupe cyclique) et 9 est d'ordre 2.

La table de multiplication est mal faite : il faut une ligne et une colonne pour les facteurs, et 4 lignes et colonnes pour y mettre les produits. Telle qu'elle est, elle est fausse.

Les inverses et les opposés de 1,3,7,9 sont justes.

Un groupe d'ordre 4 est forcément commutatif parce que : soit il possède un élément d'ordre 4 ; en ce cas il est cyclique et donc commutatif ; ou bien ses éléments sont au maximum d'ordre 2. En ce cas, soit $g_1$ un tel élément ; il engendre un sous-groupe d'ordre 2, et comme G est d'ordre 4, il y a forcément un élément $g_2$ différent de 1 et de $g_1$, qui est lui aussi d'ordre 2 ; si $g_1g_2\neq g_2g_1$, G contiendrait (au moins) 5 éléments ; or il est d'ordre 4... On peut alors définir une application de Z/2ZxZ/2Z dans G en envoyant (1,0) sur $g_1$ et (0,1) sur $g_2$, et donc (1,1) sur $g_1g_2$ (et bien sûr (0,0) sur 1). C'est par construction un homorphisme, il est injectif, donc bijectif puisque les deux groupes ont le même nombre d'éléments.
Ceci montre en même temps qu'il n'y a, à isomorphisme près, que deux types de groupes d'ordre 4. Pour savoir à quel type on affaire, il suffit donc de savoir s'il y a des éléments d'ordre 4 ou non.

Voilà ; j'espère que c'est à peu près clair.

B.A.

[paspythagore]

Merci pour les réponses,
(est ce que les questions sont les bonnes ? Il n'y en a pas de mauvaise. Est ce que ce sont celles qui permettront de comprendre le cours -car j'espère y arriver- ? Elles y contribueront)

La bonne table, j'espère :

$\begin{tabular}{||c||c||c||c||c||} \hline none &1 &3 &7 &9 \\ \hline 1& 1 &3 &7 &9 \\ \hline 3& 3 &9 &1 &7 \\ \hline 7& 7 &1 &9 &3 \\ \hline 9& 9 &7 &3 &1 \\ \end{tabular}$

$\Z/4\Z$ n'est pas isomorphe à $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ mais est ce que $(\Z/10\Z)^*$ est isomorphe à $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ ?

Encore une fois merci à ceux qui m'ont aidé, je risque de les solliciter à nouveau cette année.

[paspythagore]

est ce que $(\Z/10\Z)^*$ est isomorphe à $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ ?

Non parce que $Z/2\Z\times \Z/2\Z$ n'est pas cyclique ?

[MC]

Bonjour,

$\Z/4\Z$ n'est pas isomorphe à $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ mais est ce que $(\Z/10\Z)^*$ est isomorphe à $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ ?

Je pense (j'espère) que tu as compris que $((\Z/10\Z)^*,\times)$ est isomorphe à $(\Z/4\Z,+)$ (j'indique l'opération du groupe pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté). Tu sais aussi que $(\Z/4\Z,+)$ n'est pas isomorphe à $(\Z/2\Z\times \Z/2\Z,+)$. Est-ce que ça ne répond pas à ta question?

Cordialement,

MC

[paspythagore]

Oui, merci,
j'ai presque l'impression de progresser bien que je n'ai toujours pas commencé à faire mon devoir à rendre pour hier.