Problème de convention avec les puissances

[projetmbc]

Pour vous, laquelle des deux égalités ci-dessous est vraie.
$cos \: a^{b}={\left( cos \: a \right)}^{b}$
ou
$cos \: a^{b}=cos\left( {a}^{b} \right)$

Je pencherais pour la 1ère mais "visuellement" la 2nde me parait plus "juste".

[Arnaud]

$(\cos \, a )^b$ s'écrit $\cos^b \, a$, donc c'est la 2e qui est correcte.

[kojak]

+1 avec Arnaud

[rebouxo]

+1 avec les deux.

Et moi, j'écris systématiquement : $\cos^a (x)$ avec les parenthèses comme cela la cohérence avec les autres fonctions est assurée.

Olivier

[Framboise]

+1 avec Arnaud

Mais je préfère l'écriture de rebouxo plus claire.

[François D.]

J'ai l'habitude d'expliquer à mes élèves qu'un exposant « ne concerne que ce qui est directement à sa gauche », ce qui signifie par exemple que $3x^2 \neq 3x \times 3x$ et donc aussi que $\cos x^n = \cos (x^n)$ ; pour ce qui est de l'écriture $\cos^n x$ pour $(\cos x)^n$, je dis qu'il s'agit d'une sorte d'archaïsme suffisamment commode pour avoir été conservé ... qu'en est-il, au fait ?

[guiguiche]

En tout cas, j'ai des étudiants qui pensent que $\cos^2x=\cos(\cos(x))$ dès que l'on rencontre cette écriture après avoir fait un chapitre d'algèbre linéaire, ou réciproquement, pensent que $f^2(\vec x)=f(\vec x)\times f(\vec x)$ dès qu'on a fait un peu d'analyse auparavant.

[François D.]

C'est sûr que ça induit ce genre de confusions ...

En ce qui me concerne, sachant qu'on ne va pas (en tous cas dans un futur proche) revenir sur $\cos^n x = (\cos x)^n$, je n'aurais rien contre une généralisation de la notation (qu'on rencontre parfois il me semble) : $f^{\circ n}$ pour $\substack{\underbrace{f \circ \dots \circ f} \\ n\text{ fois}}$ ; qu'en pensez-vous ?

[projetmbc]

Quand j'cris des maths j'utilise partout des parenthèses où cela est nécessaire. Pour les composditions répétées, j'utilise la notation suivante : $f^{[n]}$. Donc $f^{[-1]}$ désigne une fonction réciproque.

[François D.]

Pourquoi pas ? Cela dit, il y a peut-être un petit risque de confusion avec la notation $f^{(n)}$ pour la dérivée $n$-ième, largment répandue celle-là.

[Framboise]

Il y a un problème avec
$\cos^{-1} \,x$
qui peut aussi bien être la fonction réciproque "arc cos" que l'inverse, puissance -1, "secante".
Je préfère l'écriture
$(\cos \, x )^{-1} = \sec \, x $
pour l'inverse.