Nb de polytopes réguliers convexes en dimension 3, 4 et +

Discussions générales concernant les mathématiques.
[forum modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
resartus
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 3
Inscription : lundi 29 mai 2006, 18:06

Nb de polytopes réguliers convexes en dimension 3, 4 et +

Message par resartus »

bonjour, je viens de m'inscrire sur le forum, et je tente ma chance auprès de vous
pour une démonstration que je n'arrive pas à retrouver sur internet.
J'avais trouvé il y a bien longtemps dans un livre de mathématiques (peut-être de schaefli himself, mais je ne suis pas sûr) une démonstration très astucieuse qu'il n'existe que 5 polytopes convexes réguliers en dimension 3, 6 en dimension 4, et seulement 3 au delà de 5.
Je crois me souvenir que la formule était une inégalité portant sur cos (Pi/n) (n étant le nombre de sommets des faces du polytope).
L'impossibilité d'avoir des faces de 5 cotes et plus a partir de la dimension 5 se traduisait par le fait qu'on arrivait à une valeur supérieure à 1 dans l'inégalité.

Quelqu'un connait-il cette inégalité (ou mieux encore sa démonstration?

Tryphon
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1839
Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
Localisation : Un peu plus à l'Ouest

Message par Tryphon »

Ca doit y être dans le Berger.

la main gauche
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 274
Inscription : jeudi 30 mars 2006, 08:44
Localisation : selon l'idéal de la liberté

Message par la main gauche »

La première question est certainement qu'est-ce qu'un polytope régulier? De nombreux quteurs se contentent de définitions ad-hoc qui ont le petit effet pervers de laisser penser qu'elles sont taillées sur mesure pour obtenir dans chacun des cas la liste escomptée; mais on ne comprend pas pourquoi la définition est la même dans ces deux cas. Je ne sais pas quelle définition vous utilisez, on m'a suggéré une fois ``un polytope est régulier lorsque son stabilisateur dans le groupe des isométries affines agit transitivement sur les drapeaux de ce polytope.''
la Main Gauche

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Message par rebouxo »

la main gauche a écrit : ``un polytope est régulier lorsque son stabilisateur dans le groupe des isométries affines agit transitivement sur les drapeaux de ce polytope.''
C'est une défintion politique ? Nationaliste ?
Peut-on avoir une guerre sur un polytope régulier ? :wink:

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

la main gauche
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 274
Inscription : jeudi 30 mars 2006, 08:44
Localisation : selon l'idéal de la liberté

Message par la main gauche »

Ouarf.
la Main Gauche

pb
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 10
Inscription : vendredi 31 mars 2006, 00:16

Une autre définition

Message par pb »

En dimension 3, on doit pouvoir définir lâchement un polytope régulier comme étant un sous-groupe fini de SO(3) pas trop trivial. Avec ça, on doit montrer rapidement qu'il n'y en a que cinq.

A propos : le résultat le plus amusant m'a toujours semblé être le fait qu'il y en a au plus cinq. Mais le fait qu'il y en a effectivement 5 n'est pas souvent fait dans les livres il me semble (ça doit être bien barbare).

resartus
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 3
Inscription : lundi 29 mai 2006, 18:06

Pour préciser un peu ma question initiale...

Message par resartus »

Merci de votre suggestion. Je vais tâcher de mettre la main sur une geometrie de Berger.
En attendant, pour préciser un peu mon problème, j'ai bien trouvé sur Internet plusieurs inégalités, qui répondent à la question pour chaque dimension :
Pour dimension 3 : 1/p+1/q >1/2 (ou {p, q} est le symbole de schläfli)
Pour dimension 4 : sin(pi/r)> cos(pi/q)/sin(pi/p) (symbole {p, q, r} )
Pour dimension 5 : (cos2(pi/r)/sin2(pi/s)+cos2(pi/q)/sin2(pi/p)<1 {p, q ,r ,s}

Mais la démonstration que je cherche à retrouver est une formule par récurrence, qui équivalait à toutes celles-ci, et qui reliait une certaine caracteristique du polytope de dimension n, à la caractéristique des hyperfaces de dimension n-1 dont il est constitué. C'est cette formule que je n'arrive pas à reconstituer.

La démonstration doit avoir plus de 100 ans, et utilisait des raisonnements trigonométriques. Pas question de stabilisateurs ou de drapeaux! et pas non plus
de géométrie riemannienne...

la main gauche
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 274
Inscription : jeudi 30 mars 2006, 08:44
Localisation : selon l'idéal de la liberté

Message par la main gauche »

Il faut quand-même définir ce qu'est un polytope régulier, non? Les défintions ``simplettes'' (celle que je propose n'est pas plus compliquéee que la notion de polytope) sont souvent mauvaises. Si on prend un triangle équilatéral, par exemple, on peut lui couper les coins, on n'obtient pas toujours un héxagone régulier mais souvent un polytope dont le stabilisateur est un groupe d'isométries non nul. On peut faire le même genre de choses avec les autres polytopes réguliers. Il paraît qu'il y a des gens qui écrivent des bouquins avec des défintions en plastique qui ne distinguent pas ces faux polytopes réguliers des vrais, pour le plus grand plaisir des agrégatifs ...
la Main Gauche

resartus
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 3
Inscription : lundi 29 mai 2006, 18:06

Main gauche, je ne vais pas contester votre définition

Message par resartus »

c'est celle de Coxeter), mais elle est équivalente à celle de shephard :
1)Tous les sommets sont équivalents.
2)Tous les sous-polytopes (hyperfaces, faces, aretes..) sont réguliers.
3) Le polytope des sommets existe
Cette troisième condition ne sert qu'à éliminer quelques aberrations (paires de points) et est remplie dans le cas d'un polytope convexe
Ce sont ces deux mêmes conditions (plus la convexité) dont se servait Shlafli.

Pour Tryphon : je n'ai pas encore pu trouver la géometrie de Berger (il est apparemment épuisé), mais j'ai trouvé un résume de démonstration dans son livre récent sur la convexité.
Sa démonstration repose sur le calcul de l'angle diedre du souspolytope, d'où un calcul de plus en plus compliqué avec la dimension.
Cela ne semble donc pas être la démonstration par récurrence très élégante que je cherche à retrouver. Mais peut-être sa "géométrie" contient-elle une autre démonstration? L'un d'entre vous aurait-il ce livre?

la main gauche
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 274
Inscription : jeudi 30 mars 2006, 08:44
Localisation : selon l'idéal de la liberté

Message par la main gauche »

C'est quoi "sommet équivalent?"
la Main Gauche

pb
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 10
Inscription : vendredi 31 mars 2006, 00:16

Message par pb »

Je préfère les drapeaux ;-)

Et je préfère encore ne pas définir les polyèdres. Perso, le résultat que je trouve frappant, c'est qu'il n'y en a que cinq (en dim 3). Et si, au lieu de me démontrer cela, on me démontre qu'il n'y a que 5 classes de conjugaison de sous-groupes finis non triviaux (ie non "plans"...) de SO(3), je suis content :-)

Après, si on veut démontrer ou énoncer d'autre choses, on a sûrement besoin d'une vraie définition des polyèdres réguliers...

Pierre

rebouxo
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre

Message par rebouxo »

pb a écrit :Je préfère les drapeaux ;-)

Et je préfère encore ne pas définir les polyèdres. Perso, le résultat que je trouve frappant, c'est qu'il n'y en a que cinq (en dim 3).

Pierre
Hum, avant que la main gauche ne passe par là. Il n'y a que 5 polyèdres réguliers.
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

la main gauche
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 274
Inscription : jeudi 30 mars 2006, 08:44
Localisation : selon l'idéal de la liberté

Message par la main gauche »

OK, mais il faut inévitablement répondre à la question "comment voir géométriquement" ces sous-groupes finis; et la réponse la plus simple est sans-doute apportée par les polytopes réguliers. Tout polytope régulier donne un sous-groupe fini, mais tous les sous-groueps finis correspondent-ils à un polytope? Avec les exemples dits "platoniciens" on estbien obligé d'étudier ces questions de près.
la Main Gauche