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divia

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Message par divia »

Bonjour à tous voila, je bloque sur un exo que j'ai vu sur le net :
Soient X un espace topologique, Y un espace topologique discret et f une application continue de X dans Y. Montrer que f est constante sur chaque composante connexe de X.
Merci pour votre aide!

François D.
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Re: Composante connexe

Message par François D. »

Cet énoncé m'a inspiré simplement deux choses :
-- par une fonction continue, l'image réciproque d'un ouvert (ici de $Y$) est un ouvert (ici de $X$) ;
--dire que $Y$ est un espace topologique discret me semble un peu ambigu ... je pense que c'est un espace muni de la topologie discrète, c'est-à-dire que toutes les parties de de $Y$ sont ouvertes et donc aussi fermées, mais ça pourrait éventuellement signifier que $Y$ est un ensemble discret (i.e. dénombrable, en gros) muni d'une topologie encore à préciser.

divia

Re: Composante connexe

Message par divia »

Peut on dire que (Z, /./ restreint de Z) est un "espace discret"? Z étant l'ensemble des relatifs

François D.
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Re: Composante connexe

Message par François D. »

Je ne peux que me répéter : qu'en est-il précisément de $Y$ ?

Est-ce un espace muni de ce qu'on appelle la topologie discrète, topologie qu'on peut mettre en place sur tout ensemble : c'est celle où les ouverts de $Y$ sont les parties (sous-ensembles) de $Y$, ce qui fait que tout sous-ensemble de $Y$ est à la fois ouvert et fermé (en tant que complémentaire d'un autre sous-ensemble, considéré comme ouvert) ?

Ou est-ce que $Y$ est un ensemble discret, comme par exemple $\Z^2$ dans le plan ? Dans ce cas, quelle est la topologie mise sur $Y$ ?
Dernière modification par François D. le lundi 05 janvier 2009, 14:57, modifié 1 fois.

divia

Re: Composante connexe

Message par divia »

Dans ce cas Y=(Z, /./ restreint de Z)

François D.
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Re: Composante connexe

Message par François D. »

Ah, je n'avais pas compris que tu me donnais déjà l'ensemble $Y$ ... sauf que
(Z, /./ restreint de Z)
je ne vois pas trop ce que ça peut être : c'est quoi, ce « /./ restreint de Z » :?: .

guiguiche
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Re: Composante connexe

Message par guiguiche »

Je suppose que c'est la norme euclidienne donc la valeur absolue en dimension 1.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

divia

Re: Composante connexe

Message par divia »

exact c'est ça

François D.
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Re: Composante connexe

Message par François D. »

C'est ce que j'avais fini par me dire aussi ... la bonne touche, c'est (sur un clavier français) [AltGr]+6 : | :wink: .

Partant de là : $(\Z , | |)$ (topologie induite) est un espace topologique discret car $\Z$ l'est, je dirais ... mais est-ce le type de situation de l'ensemble $Y$ de l'énoncé ?

divia

Re: Composante connexe

Message par divia »

:D merci de l'astuce!!
Oui je pense qu'on peut prendre cela pour Y vu que c'est l' énoncé de mon exo :)

guiguiche
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Re: Composante connexe

Message par guiguiche »

divia a écrit :Oui je pense qu'on peut prendre cela pour Y vu que c'est l' énoncé de mon exo :)
hum, pas sûr qu'on ait le droit de transformer un cas général en un cas particulier mais cela peut aider à voir ce qui se passe.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

divia

Re: Composante connexe

Message par divia »

Oui on prend ca comme un cas particulier et je t'avoue que je suis un peu perdu dans cette question...

guiguiche
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Re: Composante connexe

Message par guiguiche »

intuitivement, c'est assez évident il me semble : comme les points de Y sont isolés la continuité de f assure que si $f(x)$ prend une certaine valeur $y$, elle prendra cette même valeur dans un voisinage de $x$ puisqu'il n'y a rien d'autre autour de $y$. Après, de proche en proche, on doit pouvoir étendre cela à toute la composante connexe de X contenant $x$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

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Re: Composante connexe

Message par OG »

bonsoir

Comme ça a l'air d'être de la topologie, il me semble que l'interprétation "$Y$ muni de la topologie discrète" est la bonne.
Pour résoudre l'exercice, ce qui est remarquable est que $\{y\}$ est à la fois ouvert et fermé dans $Y$, donc l'image réciproque par $f$ (...).

O.G.

divia

Re: Composante connexe

Message par divia »

Ca me parait toujours vague...

balf
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Re: Composante connexe

Message par balf »

Il faut peut-être se rappeler qu'un espace topologique connexe E est un espace dans lequel les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont E et la partie vide.

B.A.

OG
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Re: Composante connexe

Message par OG »

divia a écrit :Ca me parait toujours vague...
Qu'est-ce que "les composantes connexes de $X$" ?

O.G.

divia

Re: Composante connexe

Message par divia »

Etant donné un point x dans X c'est la plus grande partie connexe contenant x, qui est aussi l'union des parties connexes contenant x.

François D.
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Re: Composante connexe

Message par François D. »

Union ou intersection ? Je suis pris d'un doute ...

OG
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Re: Composante connexe

Message par OG »

C'est bien l'union.

En fait il faut utiliser le fait que l'image d'un connexe par une application continue
est connexe et comme dans la topologie discrète les seuls connexes sont les singletons
on conclut aisément.
Il faut juste démontrer ce résultat, avec la topologie induite cela doit se faire.

O.G.