[bcpst] Matrice digonalisable

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celia

[bcpst] Matrice digonalisable

Message non lu par celia »

Bonjour, j'ai un problème avec la question 2d de cet exo

Image


En effet, je trouve 1, 0,5 et -0,5 comme valeurs propres de M mais ensuite je trouve que M n'est pas diagonalisable, en effet pour qu'elle le soit il faut qu'il existe une base de R3 formée de vecteurs propres de M, or pour les vecteurs propres de M, voici ce que je trouve:
pour la valeur propre 1 : vect{(0,0,1)}
pour 0,5 : même chose
pour -0,5 vect{(1,-1,0),(0,0,1)}
donc je ne peux pas faire une base de R3 avec des vecteurs propres... J'ai repris mes calculs mais je ne vois pas ce qui ne va pas...
Merci d'avance pour votre aide
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Le vecteur (0,0,1) ne peut habiter dans deux sous espaces propres distincts. Comme il est associé à la valeur propre 1, ...
Que penses-tu de la deuxième colonne de P ?
celia

Message non lu par celia »

Merci pour votre aide, en effet je conçois aisément qu'on ne peut pas avoir
f(x)=x et f(x)=x/2 pour le même X, cependant je ne m'en sors toujours pas, je n'arrive pas à retrouver mon erreur:

$$\begin{array}{lcl}
M-kI_3 & = & \begin{pmatrix} -k & 0,5 & 0 \\ 0,5 & -k & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1-k \\ \end{pmatrix} \\
& & \\
& = & \begin{pmatrix} 0,5 & -k & 0 \\ -k & 0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1-k \\ \end{pmatrix} \\
& & \\
& = & \begin{pmatrix} 0,5-2k^2 & 0 & 0 \\ -k & 0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1-k \\ \end{pmatrix} \\
\end{array}$$

Les valeurs propres sont donc 1, 0,5 et -0,5

Ainsi pour k valeur propre, u(x,y,z) appartient à E_k ssi:
-kx+y/2=x/2+y/2=0

pour k=0,5
-x/2+y/2=x/2+y/2 donc x=y=0 et $E_{0,5}=vect (0,0,1)$
pour k=-0,5
x/2+y/2=0 donc x=-y donc $E_{-0,5}=vect {(1,-1,0)(0,0,1)}$
pour k=1
idem $E_1=vect(0,0,1)$

Je comprends bien que c'est faux et complétement absurde mais je ne vois pas d'où vient mon erreur...
Merci d'avance
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

celia a écrit :Ainsi pour k valeur propre, u(x,y,z) appartient à E_k ssi:
-kx+y/2=x/2+y/2=0
Je n'ai pas compris cette phrase.
Personnellement, je remplace, dans la matrice réduite, k par ses différentes valeurs afin de déterminer dans chacun des cas une base du noyau.
Sinon, comme on te donne P, quelle est l'image par M de chacune des colonnes de P ? Que peux-tu en conclure ?
kilébo
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Message non lu par kilébo »

Je comprends pas l'exo. La question 2. (a) est la réponse de la question 2. (d). Où est votre soucis ?
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

kilébo a écrit :Je comprends pas l'exo. La question 2. (a) est la réponse de la question 2. (d). Où est votre soucis ?
Quand les étudiants débutent, en fin d'une longue première année, sur le thème de la diagonalisation, ils ont nécessairement du mal à faire le lien entre les différents objets/notions d'autant plus que l'ont ne voit que les rudiments.

Sinon, mathématiquement parlant, l'exercice est effectivement trivial (mais avec davantage de recul).
kilébo
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Message non lu par kilébo »

Mon propos n'était pas de dénigrer l'exercice (et encore moins l'auteur de ce message). Ce que je ne pige pas c'est que la question du 2. (d) semble suggérer que la définition que l'on donne en spé d'une matrice diagonalisable n'est pas celle de la question 2. (a) ce que je croyais.

C'est ça que je ne comprend pas dans cet exo. D'où ma question sur l'exo et sur le problème qu'il représente.

Quelle est la définition d'une matrice diagonalisable que l'on donne en spé ????

Mais, le jeu consistant à trouver les vecteurs propres est effectivement une gymnastique intéressante car bcp d'élèves confondent $P$ et $P^{-1}$ ou ne voit pas forcément le lien avec les vecteurs propres.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Si j'ai bien compris, Celia est en BCPST1 et non en 2nde année. De plus, il est possible qu'à ce stade du cours, Celia n'ait pas encore vu le théorème de diagonalisation (selon la définition d'une matrice diagonalisable).

Kilebo, j'avais bien compris que tu ne te voulais pas polémique mais je cherchais juste à resituer le contexte. Je constate que je n'avais pas été assez clair. En ECS1 (classe dans laquelle j'enseigne et qui a quasiment le même programme que la BCPST1), je suis confronté à la même situation (je n'ai pas encore commencé ce chapitre et ça va être dur).
celia

Message non lu par celia »

Merci, j'ai repris mes calculs et c'est bon maintenant, quant à la définition d'une matrice diagonalisable, des valeurs propres..., c'est théoriquement hors programme en bcpst 1 mais c'est vu en bcpst 2, on a simplement marqué dans un coin de notre cours qu'une matrice était diagonalisable si on pouvait former une base avec des vecteurs propres...
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Celia, je n'ai toujours pas compris ta caractérisation des éléments de E_k par les égalités entre x et y mais cela n'a guère d'importance.
celia

Message non lu par celia »

C'est normal, c'était faux, j'avais oublié le terme en z...
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