Convergence fonction caractéristique (Poisson vers Normale)

[hercule]

Bonjour,

Je dois prouver par les fonction caractéristiques que si X suit une loi de Poisson de paramètre$\lambda$ alors la fonction caractéristique de $ (X - \lambda) / \sqrt{\lambda} $ tend vers la fonction caractéristique de la loi normale

j'ai donc commencé le développement comme ceci :

$$ \phi_x(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{P(X=k)-\lambda}{\sqrt{\lambda}} e^{itk} $$

Ce qui donne :

$$ \phi_x(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda}\lambda^k-\lambda}{\sqrt{\lambda}k!} e^{itk} $$

$$ \phi_x(t) = \frac{e^-\lambda}{\sqrt{\lambda}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda e^i )^k}{k!} - \frac{\lambda}{\sqrt{\lambda}} \sum_{n=0}^\infty e^{itk} $$

Du coté gauche on retrouve le développement en série de l'exponentielle :

$$ \phi_x(t) = \frac{e^{-\lambda}}{\sqrt{\lambda}} e^{\lambda e^{i}} - \frac{\lambda}{\sqrt{\lambda}} \sum_{n=0}^\infty e^{itk} $$

Ce qui ne simplifie guère l'expression je ne sais pas donc si je suis parti dans la bonne direction pour arriver a quelque chose qui tend vers $ \frac{e^{-t^2}}{2} $


Merci bien.

[guiguiche]

[...]alors la fonction caractéristique de $ (X - \lambda) / \sqrt{\lambda} $ tend vers la fonction caractéristique de la loi normale

Qui "tend" et vers quoi ?

[hercule]

Bonjour,

Cette démonstration est faite pour prouver qu'une loi de Poisson converge en loi vers une loi normale, on utilise les fonctions caractéristiques pour conclure en utilisant le théoreme de Levy et dugue. Mais je dois d'abord faire le calcul avec la première partie qui correspond a mon premier post

[huhulecheval]

Bonjour,

$\varphi_{Y}(t)=\mathbb{E}\left[e^{itY}\right]$ avec $Y$ ta fonction de $X$.

Ca ne serait pas plutôt : $\varphi_{Y}(t)= \sum{P(X=k)e^{it\frac{k-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}$ ?

Huhu

[hercule]

Hum, en effet et ça change tout :)