[Topologie] Intérieur et convexité

[brahim121985]

Salut tous le monde :
$(E,||.||)$ un evn , $A$ une partie convexe de $E$ , j'ai pas pu montrer que $\mathring{A}$ ( l'interieur de A) est aussi convexe.

[OG]

Il me semble que si $0\leq \lambda \leq 1$ et $x$, $y$ deux éléments, $r>0$, $\lambda B(x,r)+(1-\lambda)B(y,r)=B(\lambda x +(1-\lambda)y,r)$, ce qui suffit pour obtenir la propriété. Un petit dessin en 2D suffit pour avoir l'idée de comment démontrer le truc sur les boules.

O.G

[brahim121985]

oui merci j'ai enfin trouver une demo à l'aide de "truc" sur les boules:
étant donné que : $\forall r>0, \ \lambda B(x,r)+(1-\lambda)B(y,r)=B(\lambda x +(1-\lambda)y,r)$
si on prend $x$ et $y$ de $\mathring{A}$ , il exite $r_x$ et $r_y$ tq $B(x,r_x)$ et $B(y,r_y)$ sont incluses dans $\mathring{A}$ ,on prend $r=Min(r_x,r_y)$ , ona $B(x,r)$ et $B(y,r)$ soit incluse dans $\mathring{A}$ , et $\lambda B(x,r)+(1-\lambda)B(y,r)=B(\lambda x +(1-\lambda)y,r)$ , il suffit de montrer que $B(\lambda x +(1-\lambda)y,r) \subset \mathring{A}$, ona $(\lambda B(x,r)+(1-\lambda)B(y,r))\subset A$ puisque $A$ convexe , donc $B(\lambda x +(1-\lambda)y,r) \subset A$ donc $B(\lambda x +(1-\lambda)y,r) \subset \mathring{A}$ , car $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert de $A$ , par conséquent $\lambda x +(1-\lambda)y \in \mathring{A}$ . conclusion $\mathring{A}$ convexe.


j'ai trouvé une autre demo à l'aide de la formule : $\lambda \mathring{A}+(1-\lambda)\mathring{A}= \ds\bigcup_{a\in \mathring{A}}^{} (\lambda a+(1-\lambda)\mathring{A})$, $\lambda a+(1-\lambda)\mathring{A}$ est un ouvert car c'est l'image réciproque de $\mathring{A}$ par une application continue , et on sait que la réunion quelconque d'ouvert est un ouvert , donc
$\lambda \mathring{A}+(1-\lambda)\mathring{A}$ est un ouvert qui est inclus dans $A$ car $A$ convexe , donc il est inclus dans le plus grand ouvert de A qui est $\mathring{A}$ , ainsi $\mathring{A}$ est convexe

[OG]

Tant mieux, l'autre démo marche aussi pour "le truc sur les boules".

O.G.