Définition de pi

[theofermat]

Comment relier la vraie définition de pi (morphisme surjectif continu de groupe) et la définition avec le cercle ?

[Valvino]

Avec un calcul d'intégrale (tu calcules l'abscisse curviligne de $x\in [0,1] \mapsto \sqrt{1-x^2}$).

[theofermat]

la definition de pi est : il existe un reel a strictement positif tel que noyau de f = a Z ou f est le morphisme continue sujectif du groupe addititif des reels dans le groupe multiplicatif des complexes de mudule 1. on note pi =a /2.

comment relier ce reel a, à la defintion du perimetre p du cercle de rayon 1: p = 2 pi ?

[jean-marc B]

Bonjour ,
Une fois pi défini , il suffit de caculer la longueur du cercle trigonométrique avec un paramétrage du type (cos(t) , sin(t)) ou ce qui revient au même avec exp(it) .
Cordialement .

[projetmbc]

Comment relier la vraie définition de pi...

Cela ne veut rien dire. En prépa., on m'avait défini exp x comme somme des x^n/n!, puis la fonction cos avec la formule d'Euler. Ceci fait le prof. avait fait la preuve de la périodicité de cos, cette période étant alors notée 2pi, on a ainsi une autre définition du nombre pi (on ne peut donc pas parler de la définition). Ensuite en faisant de la géométrie euclidienne au sens d'espace vectoriel euclidien, on définit le cercle commme étant la courbe paramétrée (cos t,sin t) pour t entre 0 et 2pi. Un calcul intégral permet alors de répondre à ton problème.

Avec ta définition, la situation est similaire. On peut définir les fonctions cos t et sin t comme cela se fait au Lycée actuellement via le cercle trigonométrique. Il nous reste alors à faire notre calcul intégral mais pour cela faut-il encore montrer que les fonctions cos t et sin t admettent pour primitives sin t et -cos t. Ceci peut se faire sans difficulté via des raisonnemnts géométriques donnant des encadrements qui prouvent la dérivabilité de sin en 0. Pour passer à R, il faut utiliser les formules de trigonométriques d'addition, lesquelles se montrent via le produit scalaire. Tout ceci est dans l'esprit de ce qui peut se faire en 1ère S au Lycée actuellement.

[Tonn83]

Ou alors, on peut très bien inverser la vapeur.

On peut définir $2\pi$ comme la longueur du cercle unité dans un plan euclidien, défini comme le maximum des périmètres des polygones inscrits, et constater a posteriori qu'elle est égale à la période du coisinus.

Ce que je n'arrive pas à m'expliquer : d'où sort le 2 ? (Je veux dire: pourquoi avoir posé la longueur du cercle comme étant égale au double d'un nombre ? Si $\pi$ avait désigné la longueur du cercle, la face du monde aurait-elle changé ? Y aurait-il eu un impact significatif sur l'Histoire de l'Humanité ?)

[rebouxo]

Il vaut peut-être mieux une longueur de $2\pi r$ pour le périmètre est une aire de $\pi r^2$, qu'un périmètre de de $\Pi r$ et une aire de $ \dfrac{\Pi}{2} r^2$, non ?

Après c'est une question de convention, et celle là remontant fort loin, je pense que l'on n'est pas près de la changer.

Olivier

[Tonn83]

Il vaut peut-être mieux une longueur de $2\pi r$ pour le périmètre est une aire de $\pi r^2$, qu'un périmètre de de $\Pi r$ et une aire de $ \dfrac{\Pi}{2} r^2$, non ?

Effectivement. Alors, dans ce cas, il aurait mieux valu prendre pour périmètre du cercle $6\Pi r$, pour aire du disque $3\Pi r^2$ et pour volume de la boule $4\Pi r^3$, non ?

[rebouxo]

Ou $60\pi$ après tout $60$ a beaucoup de diviseurs. Maintenant on peut aussi choisir la simplicité : $2$ c'est le premier nombre qui nous tombe sous la main qui évite une formule compliquée.

Olivier

[Arnaud]

Ou c'est peut-être simplement que les grecs avaient pour habitude de travailler avec des demis-cercles.

[loïc67]

Ou alors, on peut très bien inverser la vapeur.

On peut définir $2\pi$ comme la longueur du cercle unité dans un plan euclidien, défini comme le maximum des périmètres des polygones inscrits, et constater a posteriori qu'elle est égale à la période du coisinus.

Ce que je n'arrive pas à m'expliquer : d'où sort le 2 ? (Je veux dire: pourquoi avoir posé la longueur du cercle comme étant égale au double d'un nombre ? Si $\pi$ avait désigné la longueur du cercle, la face du monde aurait-elle changé ? Y aurait-il eu un impact significatif sur l'Histoire de l'Humanité ?)

Il vaut peut-être mieux une longueur de $2\pi r$ pour le périmètre est une aire de $\pi r^2$, qu'un périmètre de de $\Pi r$ et une aire de $ \dfrac{\Pi}{2} r^2$, non ?

Effectivement. Alors, dans ce cas, il aurait mieux valu prendre pour périmètre du cercle $6\Pi r$, pour aire du disque $3\Pi r^2$ et pour volume de la boule $4\Pi r^3$, non ?

Ou $60\pi$ après tout $60$ a beaucoup de diviseurs. Maintenant on peut aussi choisir la simplicité : $2$ c'est le premier nombre qui nous tombe sous la main qui évite une formule compliquée.

Olivier

Ou c'est peut-être simplement que les grecs avaient pour habitude de travailler avec des demis-cercles.

C'est dingue comment les maths ça peut déformer même les esprits les plus brillants
En effet pour redescendre un peu (seulement) sur terre, les grecs mais pour être beaucoup moins "occidentalo" centriste plusieurs civilisations (égyptienne, babylonienne, chinoise, etc.) ont tout simplement découvert qu'il existait une relation particulière (de proportionnalité) entre le diamètre d'une forme cylindrique et sa circonférence. En effet dans la vie de tous les jours quand on a un tel objet entre les mains, le concept du diamètre apparait beaucoup plus naturellement que celui de rayon (faites l'expérience avec de très jeunes élèves).

Il vaut peut-être mieux une longueur de $2\pi r$ pour le périmètre est une aire de $\pi r^2$, qu'un périmètre de de $\Pi r$ et une aire de $ \dfrac{\Pi}{2} r^2$, non ?

Après c'est une question de convention, et celle là remontant fort loin, je pense que l'on n'est pas près de la changer.

Olivier

Maintenant pour rebondir sur la notion de "convention", il faut être extrêmement prudent. Je me souviens qu'au lycée mon prof de maths m'avait dit que par convention ${a}^{0}=1$, cela m'avait énormément perturbé. Comment se pouvait-il que l'on puisse choisir comme cela une valeur pour un nombre ?
La réponse je l'ai trouvé en enseignant les puissances en 4°quelques années plus tard, en fait cette valeur n'est pas du tout une convention prise au hasard mais c'est tout simplement pour conserver et même généraliser des lois comme ${a}^{n}\times {a}^{m}={a}^{n+m}$ ou comme $\frac{{a}^{n}}{{a}^{m}}={a}^{n-m}$ que l'on a choisi ${a}^{0}=1$ et ${a}^{1}=a$.
Qu'en pensez-vous ?

[Framboise]

Bonjour,

Effectivement si on prend le diamètre comme unité, ou a circonférence = PI * diamètre.
C'est encore plus simple pour éviter ce 2 encombrant.

Ce qui est moins évident à priori est que le même PI intervienne pour la longueur de la circonférence et l'aire du disque.
On peut intuitivement imaginer le cercle découpé en une infinité de secteurs alternés en tête bêche.

[loïc67]

Bonjour,

Effectivement si on prend le diamètre comme unité, ou a circonférence = PI * diamètre.
C'est encore plus simple pour éviter ce 2 encombrant.

Non tu n'as pas besoin de prendre le diamètre comme unité, c'est beaucoup plus simple que ça. Imagine, tu es la première personne qui réfléchi sur cet objet que tu tiens dans tes mains.
Ou plus précisément, tu as plusieurs objets devant toi, des petits, des moyens, des gros. Tu mesures la circonférence de tous ces objets, tu vois que cette grandeur croit en même temps que le
diamètre en plus tu te rends compte que lorsque le diamètre double ou triple alors la circonférence s'accroit dans les mêmes proportions. Tu viens de découvrir que le diamètre et la circonférence sont
proportionnelles. Il existe donc un coefficient (une constante) qui lie ces deux grandeurs de la manière suivante $\frac{circonférence}{diamètre}=constante$ et maintenant te voila embarquée
dans la recherche (au sens de la physique : expérience de plus en plus précise) de ce nombre que tu découvre petit à petit au cours des siècles.
Dernière interrogation, à part la curiosité, pourquoi chercher la valeur de ce nombre ?
Et bien il pourra te permettre de déterminer (approximativement) l'une ou l'autre des deux grandeurs connaissant l'autre.
Quoi qu'il en soit, cela n'a pas été fait exprès pour enlever le 2, c'est juste que le diamètre est plus immédiat (physiquement parlant) que le rayon.
A mon avis c'est comme cela que tout à commencé.
En parlant de commencement (et je m'arrêterai :D la dessus), cela me fait penser à une vision fausse de l'évolution (Lamarck : "la fonction crée l'organe") et bien là c'est un peu la même chose, le deux n'a pas disparu parce que c'est plus simple comme ça.

Ce qui est moins évident à priori est que le même PI intervienne pour la longueur de la circonférence et l'aire du disque.
On peut intuitivement imaginer le cercle découpé en une infinité de secteurs alternés en tête bêche.

Pour l'aire, c'est sur que c'est moins évident, je pense que c'est venu après. A confirmer ?

[Framboise]

Beaucoup de notions élémentaires en maths proviennent de problèmes pratiques liés à la vie courante. En particulier avec les terrains, zone de cultures, clôtures, roues à cercler ( d'où PI, il est plus facile de mesurer un diamètre qu'un rayon ), impôts ( ) ...

[Tonn83]

C'est dingue comment les maths ça peut déformer même les esprits les plus brillants

On ne se moque pas. Que suis-je bête ! $\pi$ est le coefficient de proportionnalité du périmètre par rapport au diamètre... et la notion de proportionnalité était connu des peuples Babylonniens, qui l'utilisaient dans l'étude des triangles rectangles et des pentes, sans pour autant se soucier des cercles. :)

:Comment "démontrer" que l'aire d'un disque est proportionnelle à son diamètre au carré ?
Tous les disques sont homothétiques. Pour envoyer un disque de diamètre d sur un disque de diamètre D, il faut une homothétie de rapport D/d. A partir du calcul de l'aire d'un rectangle, on voit qu'une homothétie de rapport D/d multiplie l'aire par (D/d)^2. Il s'en suit que le rapport de l'aire d'un disque sur le carré de son diamètre est constant.

:Comment démontrer simplement que le même nombre $\pi$ apparait pour exprimer les deux coefficients ?
Imaginons maintenant un disque de rayon $R$, d'aire $A$ et de circonférence $L$. On divise le disque en 2, 4, 8, ... $2^n$ secteurs angulaires. Chaque secteur obtenu a une aire de $A/2^n$, et est bordé par un arc de cercle de longueur $L/2^n$ (évident, non ?). Pour n assez grand, à quoi ressemble les secteurs angulaires ? A des triangles isocèles de hauteur $R$ et de base $L/2^n$. Donc $A/2^n$ est de l'ordre de $RL/2^{n+1}$. Par conséquent, $L/R=2A/R^2$.

[loïc67]

C'est dingue comment les maths ça peut déformer même les esprits les plus brillants

On ne se moque pas. Que suis-je bête ! $\pi$ est le coefficient de proportionnalité du périmètre par rapport au diamètre... et la notion de proportionnalité était connu des peuples Babylonniens, qui l'utilisaient dans l'étude des triangles rectangles et des pentes, sans pour autant se soucier des cercles. :)

Tu peux être plus précis ça m'intéresse. Je ne sais pas si j'ai bien tout compris.