Dérivation d'une application linéaire

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renard
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Dérivation d'une application linéaire

Message par renard »

Bonjour,
je rencontre quelques difficultés dans le cadre des équations differentielles linéaires. Je comprend comment l'on obtient la dérivée de t->exp(tA),R->L(E), ou A est une application linéaire de E, qui est t->Aexp(tA)=exp(tA)A.

Mais je ne comprend pas (rigoureusement) comment on obtient alors la dérivée de t->exp(tA)(z), ou z est un élément de E, t->Aexp(tA)(z). C'est censé etre "trivial".

Merci

sotwafits
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Message par sotwafits »

Cela résulte simplement de la continuité de l'application linéaire $L(E)\longrightarrow E$, $B\longmapsto B(z)$ ($z$ étant fixé) :

Applique la en remplaçant $B$ par $\dfrac{\exp(tA)-\exp(t_0A)}{t-t_0}$ et fais tendre $t$ vers $t_0$

renard
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Message par renard »

Ah d'acc, je forme le forme le taux de variation et j'utilise la continuité. Merci

la main gauche
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Message par la main gauche »

Autre façon: pour $t = t_0 + s$
$$
L(\exp tA)
= L(\exp t_0 A + s A \exp t_0 A + o(s))
$$
puis
$$
L(\exp tA) = L(\exp t_0 A) + s L(A \exp t_0 A) + L(o(s))
$$
et pour conclure que la dérivée est ce qu'annoncé, il suffit de prouver que
$$
L(o(s)) = o(s) \qquad (s\to 0)
$$
ce qui est le cas lorsque $L$ est un opérateur borné (continu, ce qui est automatique en D.F.).

-- edit --
mauvais code TeX
Quand je mets deux égalités cul à cul, on me dit "possibly dangerous LaTeX code" (!)