Théorie des ensembles et entiers naturels

[M@rion]

Au secours !

J'ai beaucoup de mal à comprendre le lien entre 0 comme ensemble vide et 1 (je précise que je ne suis pas en cursus maths). Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait très sympathique. Merci :D

[rebouxo]

Plutôt entre $\emptyset$ que $0$, non ? Mais la question manque de précision.
Précise le contexte (philo ? autre) et le but (construction axiomatique des entiers ? autre).

Sinon, j'aime beaucoup Gödel, Escher et Bach de D. Hofstader. C'est plutôt pour les non matheux mais c'est un énorme pavé. Il y a peut-être quelque chose dans la collection les petites pommes de savoir.

Olivier

[M@rion]

Oui effectivement, je me suis trompée : il est précisé que l'ensemble { zéro barré } (l'ensemble qui possède comme élément unique l'ensemble vide) définit le nombre entier 1 (cardinal de chacun des ensembles de la classe) et ainsi de suite
(je ne reproduis pas ici les formules parce que je ne maîtrise pas le logiciel).

Bref, c'est pas tout à fait de l'histoire des maths, mais c'est tout comme (c'est dans un cours de préparation à un concours de la FP). Je ne connais pas la théorie des ensembles, seulement entendu parler à plusieurs reprises dans des contextes philosophiques.

Plus loin il est dit que les éléments d'un ensemble se valent. Dois-je comprendre que 0 est considéré comme un ensemble à 1 élément ?

Merci

[projetmbc]

Bonjour,
$\emptyset$ est l'ensemble vide qui par définition et un ensemble ne contenant rien.

Maintenant, j'imagine que tu es tombé sur les correspondances suivantes :

• 0 ====> $E_0=\emptyset$

• 1 ====> $E_1=\{\emptyset\}=\emptyset \cup \{\emptyset\}=E_0 \cup \{E_0\}$

On définit alors de façon analogue :

• 2 ====> $E_2= E_1 \cup \{E_1\}$

• 3 ====> $E_3= E_2 \cup \{E_2\}$

• ...etc

L'idée est de construire les naturels juste avec la notion d'ensemble qui constitue le terreaux originel des mathématiques. Ce lien te donnera d'autres informations : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano .

[M@rion]

Merci, en fait 0 est considéré comme unité à titre d'élément ? Ou j'ai mal compris ?

[projetmbc]

Dans le raisonnement ci-dessus, zéro est associé à l'ensemble vide. Je pense que tu fais une confusion entre les deux. C'est une association, une définition. On s'en fiche de ce qu'est zéro, on cherche à définir tous les naturels de façon rigoureusre (bien qu'obscure même pour des profs de maths je te rassure) tout en obtenant au final une construction correspondant points pour points à l'intuition que nous avons des naturels.

[François D.]

En gros, il s'agit de « créer » les nombres entiers ex-nihilo, autrement dit de les définir. En effet, la première question qui pourrait se poser est : qu'est-ce qui me prouve que les nombres entiers existent ... ?

C'est la qu'on rencontre la construction proposée : admettons qu'il n'existe rien, que le seul ensemble existant soit l'ensemble vide $E_0=\varnothing$.

Alors on peut, comme cela est possible en maths, construire une fonction « successeur » qui à partir de $E_0$ crée $E_1=\varnothing \cup \{\varnothing\}$, et à partir de celui-là $E_2=\ldots$ ...

En notant $E_0=0$, $E_1=1$, etc., on « construit » l'ensemble des entiers naturels, et à partir de là, on peut commencer à s'amuser en faisant des calculs .

[M@rion]

Merci beaucoup, je finis mon chapitre et je poserai peut-être encore une ou deux questions à ce sujet.