Algèbre multilinéaire

[minidiane]

Bonjour,

je suis bloqué pour un exercice voici l'exercice:

Pour A,B appartenant à Mn(R) on définit
=Tr(tAB) (t=transposé)
1) Montrer que < , > est un produit scalaire sur Mn(R). Qu'elle est sa norme associée?
ok.

2) Décrire l'orthogonale de la droite RIn où In est la matrice identité.

3) Montrer que les sous-espaces Sn(R) et An(R) (désignant les matrices symétriques et antisymétriques) sont orthogonaux. Calculer la projection orthogonale sur ces deux espaces.

Ces deux dernières questions je ne sais pas les faire.
Pourriez vous m'aider svp?
Merci

[Jean-charles]

Bonsoir,
Par définition, comment s'écrit l'orthogonal de ton ensemble ?

[minidiane]

Soit V = <In>
A appartient à l'orthogonale de V si et seulement si <A,B> = 0 pour tout B dans V

Donc si $<A,B>=0$ j'ai $\sum_{n=1}^{n}{tA_{i,k}B_{k,j}}=0$

d'où $\sum_{n=1}^{n}{A_{i,k}B_{k,j}}=0$

Est-ce que cela est juste?

[Jean-charles]

Tu te compliques la vie.
Comment s'écrit ton $B\in V$ ? Ensuite tu peux remarquer $<A,B>=<B,A>$ et donc...

[minidiane]

$B\in V$ d'où B est une matrice qui comporte que des a par exemple sur la diagonale et des 0 ailleurs.
$<A,B>=<B,A>$
ok mais je ne vois pas comment continuer

[Jean-charles]

$B\in V$ donc il existe $\lambda\in \mathbb R$ tel que $V=\ldots$ .
Ensuite tu continues tes calculs avec cette expression de $V$ en utisant la commutativité du produit scalaire pour avoir un calcul plus simple.

[projetmbc]

Un truc de base (sans mauvais jeu de mots) à connaître : "Pour montrer l'orthogonalité de deux espaces, on peut le faire en travaillant avec des bases de chacun de ces deux espaces.".

Essayes cela car dans ton cas tu auras très vite ce que tu veux pour le 3), et aussi pour le 2) (dans ce cas à toi de deviner une base mais ce n'est pas trop dur).

[minidiane]

$B\in V$ donc il existe $\lambda\in \mathbb R$ tel que $V=\ldots$ .
Ensuite tu continues tes calculs avec cette expression de $V$ en utisant la commutativité du produit scalaire pour avoir un calcul plus simple.

Je ne comprend pas bien en fait je pensais que je devais trouver la forme de B.

Pour les bases cela me semble encore plus difficile.

[Jean-charles]

Tu as $B=\lambda I_n$ donc $<A,B>=<B,A>=\ldots$ ?

[minidiane]

$B=\lambda I_n$ donc $<A,B>=<B,A>=<\lambda I_n,A>=\lambda< I_n,A>=\lambda*Tr(A)=0$
d'où Tr(A)=0?

[Jean-charles]

$B=\lambda I_n$ donc $<A,B>=<B,A>=<\lambda I_n,A>=\lambda< I_n,A>=\lambda*Tr(A)=0$
d'où Tr(A)=0?

Oui donc l'orthogonal cherché est l'ensemble des matrices $A\in...$ telles que ...

[minidiane]

$A\in M_{n}(R)$ telles que Tr(A)=0?

[Jean-charles]

Oui

[minidiane]

Merci

J'essaye de faire la dernière question mais je n'y arrive pas vraiment

[Jean-charles]

Connais tu une base de $S_n$ et $A_n$ ?

[minidiane]

non je n'en connais pas

[Jean-charles]

Dans ce cas ou tu en cherches ou tu te lances dans les calculs un peu plus "brutaux"...

[minidiane]

Pour l'instant j'ai montrer que tr(tA.B) = -tr(tA.B) lorsque A est symétrique et B antisymétrique.
D'où tr(tA.B) = 0.
Mais ensuite je ne sais pas quoi faire.

[Jean-charles]

Tu peux déjà prouver que $M_n=S_n+A_n$.

[minidiane]

Je n'y arrive pas du tout