Algèbre multilinéaire

[Jean-charles]

Soit $A\in M_n(R)$, tu considères $B=\dfrac{A+A^t}{2}$.
A quel ensemble appartient $B$ ?
Essaye de chercher $C$ tel que $A=B+C$.

[minidiane]

B appartient à Sn(R)
$C=\dfrac{A-A^t}{2}$ et C appartient à An(R)

[guiguiche]

S : symétrique
A: antisymétrique
$<S,A>=tr(^tSA)=tr(SA)=tr(AS)=tr(-^tAS)=tr(^t(-A)S)=<-A,S>=-<A,S>=-<S,A>$

[balf]

C'est un peu comme pour montrer que toute fonction (définie sur $\mathbf R$, disons) est somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire : on associe à toute matrice, de façon plus ou moins canonique, une matrice symétrique et une matrice antisymétrique.

B.A.

[minidiane]

bonsoir je suis toujours bloqué pour cet exercice :(
pour le 3)

[Tonn83]

bonsoir je suis toujours bloqué pour cet exercice :(
pour le 3)

En es-tu certain? As-tu démontré que les espaces $S_n$ et $A_n$ sont orthogonaux? Si non, alors je t'invite à relire tous les messages posés ci-dessus. As-tu calculé le projecteur orthogonal? Si non, alors je te conseille de relire le message de Jean-charles le Dimanche 22 Février 2009, 21:22, et la réponse que tu as toi-même donnée! :)

Eh bien, où es-tu bloqué?

[minidiane]

Je n'arrive pas à calculer la projection orthogonale sur ces 2 espaces

[Tonn83]

Je n'arrive pas à calculer la projection orthogonale sur ces 2 espaces

La projection orthogonale sur F est la projection sur F parallèlement à ?

Si l'espace euclidien E est la somme directe orthogonale de F et de G, alors tout vecteur v s'écrit de manière unique sous la forme v=f+g avec $f\in F$ et $g\in G$. Que représente f ? Ou plutôt, comment appelles-tu l'application qui à v associe f ?

Encore une fois, je t'invite à relire les messages précédents. La réponse à ta question s'y trouve.

[minidiane]

f serait alors les matrice Symétrique et g les matrices antisymétrique.
Par contre je ne vois toujours pas comment calculer la projection orthognale :?

[guiguiche]

Si $x=x_F+x_G\in F\oplus^{\perp}G=E$ alors le projeté orthogonal de x sur F est $x_F$ donc ça me paraît simple ta situation, non ?

[minidiane]

Donc la projection orthogonale de$S_n$ c'est $\frac{A+A'}{2}$ et la projjection orthogonale de$A_n$ c'est $\frac{A-A'}{2}$ ?

[minidiane]

Donc la projection orthogonale de$S_n$ c'est $\frac{A+A^t}{2}$ et la projjection orthogonale de$A_n$ c'est $\frac{A-A^t}{2}$ ?

[guiguiche]

oui

[minidiane]

D'accord merci :D