Entiers naturels

[M@rion]

Bonjour,

Il y a plusieurs choses que je ne comprends pas et je les regroupe dans le même post pour ne pas "polluer" le forum, d'où ce titre "divers".

1) pourquoi la relation d'ordre entre les entiers naturels est-elle fondée sur le signe $\le$ et non <
(soit la règle : l'ensemble des entiers naturels est totalement ordonné, c'est-à-dire que quels que soient les entiers a et b , on a soit a $\le$ b, soit b $\le$ a, etc.) ?
2) je ne suis pas sûre de comprendre les formules des nombres triangulaires et carrés
3) pourquoi il n'y a pas d'élément neutre dans la soustraction ?
4) comment sait-on comment disposer les colonnes et les lignes dans la méthode de multiplication dite "per gelosia" ?

Voilà c'est tout merci d'avance :D

[guiguiche]

1) Une relation d'ordre doit être symétrique, c'est un dire que $a\leqslant a$ pour tout élément $a$ ce qui est impossible pour une inégalité stricte.
2) Précise bien de quoi tu parles : est-ce $\dfrac{n(n+1)}2$ pour les nombres triangulaires ?
3) 0 est bien neutre pour la soustraction ? Sinon, la soustraction n'est pas vraiment une opération puisque soustraire c'est ajouter l'opposé.
4) Je ne connais pas.

[Valvino]

Pour la soustraction, c'est une loi de composition interne dans $\Z$, donc parler d'élément neutre à un sens. On voit immédiatement que 0 est un neutre à droite:
$$\forall z \in \Z,\ z-0=z.$$
On peut voir facilement qu'il est unique!

Par contre, il n'existe pas de neutre à gauche, car si on a
$$\forall z \in \Z,\ e-z=z$$
on a
$$\forall z \in \Z,\ 2z=e$$
ce qui est absurde car $\Z$ a une infinité d'éléments.

Donc il n'y a pas de neutre globalement.

[rebouxo]

Pour ceux que cela intéresse un pdf.
Il n'y a pas de problème pour la disposition des lignes et des colonnes dans la méthode per gelosia, car la multiplication est commutative, $24 \times 35 = 35 \times 24$. Contrairement à la multiplication "classique" ou il vaut mieux mettre le plus petit nombre en multiplicande (encore un avantage de cette méthode). En fait son seul inconvénient c'est qu'il faut tracer le tableau.

Olivier

[M@rion]

Merci beaucoup.

Pour l'élément neutre, toutes les opérations en ont un ? Comment savoir si c'est 0 ou 1 ?

Pour les nombres triangulaires et carrés c'est :
Sn = 1 +2 +3 +4 + ... + n-1 + n
Sn = n + n-1 + n-2 + n-3 + ... + 2 + 1
d'où
2Sn = n + 1 + n + 1 + ... + n + 1 + n + 1. [soit n fois (n+1)]
(c'est là que je ne comprends pas comment on prouve que n est facteur)
= n x (n+1)
Sn = n/2 x (n + 1)
d'où
Sn = $\dfrac{n(n+1)}{2}$

pour les nombres carrés c'est :
$\dfrac{n(n-1)}{2}$ + $\dfrac{n(n+1)}{2}$
ce que je ne comprends pas, là, c'est pourquoi on a (n-1) ?

[M@rion]

comment fait-on pour remonter un sujet s'il vous plaît ?

[guiguiche]

Sn = 1 +2 +3 +4 + ... + n-1 + n
Sn = n + n-1 + n-2 + n-3 + ... + 2 + 1
d'où
2Sn = n + 1 + n + 1 + ... + n + 1 + n + 1. [soit n fois (n+1)]
(c'est là que je ne comprends pas comment on prouve que n est facteur)

Tes sommes comportent chacunes n termes (regarde la première par exemple) et chaque terme vaut n+1 dans la dernière somme.

pour les nombres carrés c'est :
$\dfrac{n(n-1)}{2}$ + $\dfrac{n(n+1)}{2}$
ce que je ne comprends pas, là, c'est pourquoi on a (n-1) ?

Imagine un tableau de nombres à n lignes et n colonne. Considère la diagonale (celle du haut à gauche au bas à droite) : Combien de nombres au-dessus de la diagonale (diagonale incluse), combien au-dessous (sans la diagonale), combien en tout ?

[M@rion]

Merci pour votre patience :)

Et pous les produits cartésiens, et l'élément neutre ? Quelle est la méthode s'il vous plaît ?

[guiguiche]

E étant un ensemble, * une opération entre deux éléments de l'ensemble donnant pour résultat un élément de l'ensemble (c'est à dire que si a et b sont éléments de E alors a*b est encore élément de E), on dit que l'élément e de E est neutre pour l'opération * lorsque a*e=e*a=a pour tout élément a de E (on considère que a*b=b*a pour tout a et tout b).
En conséquence :
- pour E=N et *=+, on a bien sûr e=0 (puisque a+0=0+a=a pour tout entier naturel a)
- pour E=N et *=x, on a bien sûr e=1 (puisque ax1=1xa=a pour tout entier naturel a)

[M@rion]

Merci beaucoup, je comprends mieux ainsi.

Donc si on me demande quel est l'élément neutre de la soustraction, je réponds qu'il n'y en a pas
(car : x - 0 = x, or 0 -x = -x) ?

[rebouxo]

Merci beaucoup, je comprends mieux ainsi.

Donc si on me demande quel est l'élément neutre de la soustraction, je réponds qu'il n'y en a pas
(car : x - 0 = x, or 0 -x = -x) ?

La soustraction ne rentre pas dans le cadre évoquée par Guiguiche, puisqu'elle ne commute pas ($a-b \not= b-a$).

La meilleure réponse est me semble-t-il celle de Valvuino : il n'y a pas d'élément neutre global. Maintenant, on peut (on doit ?) considérer la soustraction comme une addition (de l'opposé) ce qui dans la pratique est quand même vachement plus sympa...


Olivier

[M@rion]

Merci beaucoup, quelles sont les conséquences pratiques de cette conception (j'imagine que ça simplifie pas mal de choses) ? Je peux avoir un exemple ?

[rebouxo]

Cela évite d'avoir 4 opérations avec des propriétés pénibles, mais seulement 2 avec des propriétés sympathiques entre autre la commutativité.

Addition : OK, no problem ; soustraction : pas commutative, la soustraction de deux nombres n'est pas toujours définies (4-5), multiplication no problemo ; division : idem soustraction.

En ce plaçant dans le cadre des entiers relatifs et en transformant les soustractions en addition de l'opposé, on n'a plus qu'une seule opération : l'addition, commutative et l'addition de deux nombres entiers relatifs est toujours un entier relatif.

Pareil, pour la division : en se plaçant dans l'ensemble des fractions on a plus qu'une seule opération qui est commutative et la multiplication de deux fractions est encore une fraction.

L'ensemble $\Q$ (les fractions) muni de l'addition et de la multiplication est le premier exemple de ce que les matheux appelent un corps (ici commutatif). Une structure que l'on retrouve très souvent, car ces propriétés de calcul sont bien sympathique.

Olivier

[M@rion]

Merci à tous, j'apprends plein de choses sur ce forum c'est génial :D

[rebouxo]

De rien de rien. C'est toujours agréable d'avoir des conversations enrichissantes.

Olivier

[M@rion]

Tout à fait :D