Différentiabilité de l'application norme

[brahim121985]

bonjour ,

$(E,||.||)$ evn , comment montrer que $x \rightarrow ||x|| $ est différentiable sur $E-\{0\}$ ?

[MC]

Bonjour,

C'est un peu dur, parce que n'est pas vrai en général. Si tu prends par exemple, sur $\mathbb{R}^2$, la norme définie par $\Vert (x,y)\Vert = \max(|x|,|y|)$, ce n'est différentiable que sur $\mathbb{R}^2$ privé des diagonales.
Cordialement.

[brahim121985]

oui je vois merci beaucoup

[brahim121985]

vous avez raison :) on vois bien des angles dans les quatre diagonales :)

[brahim121985]

par contre la norme euclidienne est différentiable sauf a l'origine :)

[Tonn83]

Bonjour,

La question que tu poses provient-elle d'un exercice ? Si oui, alors l'énoncé devrait préciser de quelle norme il s'agit ... probablement de la norme eucilidienne sur un espace euclidien E, auquel cas c'est vrai.

Quand tu souhaites démontrer la différentiabilité d'une fonction, interroges-toi : comment la définit-on ? Quelle est son expression ? La démarche est similaire que pour celle des fonctions d'une variable réelle, dont tu as certainement déjà acquis les réflexes.

[brahim121985]

bonjour,
merci d'avoir répondu, c'est pas un exercice , on a montré que la norme qui provient d'un produit scalaire dans une espace
pré-hilbertien est différentiable sauf à l'origine.mais j'ai entendu un ami dire que la norme en générale est différentiable sauf en 0. ce qui m'a pousser à chercher un peu :) ...

[jean-marc B]

Bonsoir ,
aucune norme n'est différentiable en O car par homogénéité de la norme N(tx)= |t |x .
Cordialement .

[Tonn83]

bonjour,
merci d'avoir répondu, c'est pas un exercice , on a montré que la norme qui provient d'un produit scalaire dans une espace
pré-hilbertien est différentiable sauf à l'origine.mais j'ai entendu un ami dire que la norme en générale est différentiable sauf en 0. ce qui m'a pousser à chercher un peu :) ...

Voici alors quelques pistes de réflexion pour pousser un peu :D Compte tenu de l'homogénéité, l'ensemble des points où une norme n'est pas différentiable est un ensemble X invariant par multiplication par les scalaires. (un "cone")

• Dans le cas de la norme euclidienne dans Rn, on trouve 0,
• dans le cas de la norme infinie sur R3, on trouve le cône qui s'appuie sur les arrêtes d'un cube.

L'étude d'une norme N sur un espace E disons de dimension finie est liée à l'étude d'un convexe, à savoir C={N<1}. Il s'agit de la boule pour la norme euclidienne, ou d'un cube pour la norme infinie. Tu vois que si la norme infinie n'est pas différentiable, c'est que le cube possède des "coins". Un hyperplan d'appui de C est un hyperplan affine H qui intersecte C mais pas son intérieur. La norme N est différentiable en un point x du bord de C ssi il n'existe qu'un et un seul hyperplan d'appui de C passant par x. L'existence de l'hyperplan d'appui est toujours vérifiée, c'est l'unicité qui pose problème.

Combien de plans d'appui passent par un sommet du cube ? Il y en a au moins 3, définis par les 3 faces liées au sommet. En fait, il y en a une infinité.