[Entiers relatifs] Règle des signes

[M@rion]

Bonjour,

Comment prouve-t-on que le produit de deux nombres négatifs est positif s'il vous plaît ?

[rebouxo]

Avec la distributivité, il me semble.

• On peut se limiter à $1$ et $-1$.
• $(-1) \times 1 = -1$, car $1$ est l'élément neutre de la multiplication.
• $(-1+1) \times (-1) = 0 \times (-1) = 0$ car $0$ est absorbant pour la multiplication.
  Distribuons : $(-1) \times (-1) + 1 \times (-1) = 0$. Mais le 2e terme vaut $(-1)$, donc $(-1) \times (-1) = 1$.

D'où la règle des signes : le produit de deux négatifs ...

Olivier

[M@rion]

Merci :D donc je peux utiliser cette formule (0 élément absorbant de la multiplication) si on me donne un exemple, puis qu'on me demande de justifier la règle dans le cas général ?

[Valvino]

Oi si on est savant, il me semble que l'on peut repasser par la définition exact de $\Z$ comme $\N^2$ muni de lois exotiques :D

[M@rion]

merci pour cette explication mais je n'en suis pas encore là

$\N$²
lois exotiques :?

l'explication de Rebouxo me convient tout à fait, je voulais simplement une confirmation pour savoir si je pouvais l'utiliser pour justifier tout type d'exemple dans le cadre d'un concours

[rebouxo]

Le tout est de convaincre...
Parce que la définition de $(\Z,+,\times)$ comme isomorphe à$\N^2$ muni de loi adescouettes de Sheila, heu comment dire, j'ai toujours trouvé cela un peu une gentille escroquerie (certes consistante logiquement) mais pas du tout convaincante.

Pour la question de M@rion, tout dépend du niveau du concours. Pour le concours de PE ou tout concours ne formant pas des profs de maths, la version naïve est certainement acceptable. La version exotique est, elle, celle que l'on attend (et encore cela doit pouvoir ce discuter) dans au CAPES de math.

Olivier

[M@rion]

ça alors c'est pas très gentil de dire que je suis naïve !! ( :D )

[François D.]

J'ai bien vu tes smileys, M@rion ;) ; cela dit, en maths il y a des mots qui sont couramment employés par les matheux dans un sens qui diffère légèrement du sens habituel : naïf signifie plutôt « avec un niveau d'abstraction et de construction théorique relativement limité, donc reposant dans une certaine mesure encore sur l'intuition », de même d'ailleurs qu'en maths on dit, par anglicisme, « trivial » pour « évident » (et non grossier ou vulgaire).

[rebouxo]

C'est bien évidemment dans le sens de François D. qu'il fallait entendre le mot naïve. La version naïve est souvent (toujours ?) une version préalable à une version plus rigoureuse.

Olivier

[M@rion]

Je ne suis pas douée pour les plaisanteries j'ai l'impression :) Ceci dit, cela a engendré des remarques très intéressantes. Merci encore.

[sophiegermain]

bonjour à tous,

Rebouxo, pourquoi dites-vous que la démonstration par l'isomorphie de Z à N² est une "gentille escroquerie"? :?

[rebouxo]

bonjour à tous,

Rebouxo, pourquoi dites-vous que la démonstration par l'isomorphie de Z à N² est une "gentille escroquerie"? :?

Parce que cela ne me convainc pas. Certes la démonstration est consistante d'un point de vue logique, mais cela ne me parles pas. C'est tout le problème des math bourbachiques. Logiquement, rigoureusement rien à redire, mais il n'y a plus de sens. Et c'est le sens qui convainc, pas la logique.

Olivier

[sophiegermain]

heu d'accord, je crois que je n'ai pas la culture nécessaire pour comprendre. Que signifie le mot "bourbachique"? En rapport avec Bourbaki?

Désolée si je suis un peu inculte.

[rebouxo]

heu d'accord, je crois que je n'ai pas la culture nécessaire pour comprendre. Que signifie le mot "bourbachique"? En rapport avec Bourbaki?

Yes, it is.

Désolée si je suis un peu inculte.

Meuuuh non, meuuuh non, tu connais déjà Sophie G. et Carl F. G. :D

Olivier

[Valvino]

bonjour à tous,

Rebouxo, pourquoi dites-vous que la démonstration par l'isomorphie de Z à N² est une "gentille escroquerie"? :?

Parce que cela ne me convainc pas. Certes la démonstration est consistante d'un point de vue logique, mais cela ne me parles pas. C'est tout le problème des math bourbachiques. Logiquement, rigoureusement rien à redire, mais il n'y a plus de sens. Et c'est le sens qui convainc, pas la logique.

Olivier

Tiens c'est rigolo, perso je trouve cela très limpide... Je crois que chacun a ses bêtes noires en maths. Je n'ai jamais réussi à vraiment comprendre la notion de variable aléatoire par exemple.

[rebouxo]

C'est-à-dire ? C'est cette démonstration qui t'a convaincu de la validité de la règle des signes ?

Olivier

[M@rion]

Est-ce que vous pouvez expliquer à quoi tout cela correspond pour les non-initiés s'il vous plaît ? :D

[Valvino]

Je suis peut-être trop bourbakiste, mais bon quand on parle de la règle des signes, ca ne tombe pas du ciel. Il faut déjà avoir défini proprement ce qu'est $-1$ (et donc $\Z$), et la loi $\times$ sur cet ensemble. Après la règle des signes tombe toute seule! Je ne me pose pas trop la question de la validité dans l'absolu.

Tout ce que je sais, c'est qu'elle est valide dans une axiomatique que l'on considère acceptable (ici ZFC + Peano par exemple). Donc pour moi c'est OK.

Après on peut discuter de la pertinence de ces axiomes. Mais ce n'est plus des mathématiques. On pourrait imaginer des mathématiques où la règle des signes n'est plus vraie! Cette approche est moins débile que l'on croit, ca donne quand même de belles choses (géométries non euclidiennes, analyse non standard) quand on a essayé de nouvelles axiomatiques.

[rebouxo]

Je suis peut-être trop bourbakiste, mais bon quand on parle de la règle des signes, ca ne tombe pas du ciel. Il faut déjà avoir défini proprement ce qu'est $-1$ (et donc $\Z$), et la loi $\times$ sur cet ensemble. Après la règle des signes tombe toute seule! Je ne me pose pas trop la question de la validité dans l'absolu.

Oui, mais tu ne réponds pas à ma question. Ma question as-tu attendu cette démo pour être convaincu de la validité de la règle des signes ? (bon je me doute bien de la réponse, cela. Tu n'aurais pas fait de math sinon )

Je ne dis pas que l'axiomatisation ne soit pas nécessaire (au contraire, il en faut) mais que cela ne convainc que les personnes déjà convaincues... D'autres part la belle cathédrale bourbachique, n'est pas venu tout seule, elle repose sur des maths pré-existante. Que je sache, la règle des signes n'a pas attendu Bourbaki pour exister et être utilisée. C'est bien une reconstruction des maths.

Olviier

[sophiegermain]

Vous voulez nous noyer tous les deux??????? :?

Personnellement, je vis très bien avec la démonstration de Rebouxo, mais peut-être si je comprends un jour l'autre je la préfèrerais.... Qui sait?

Et c'est dans vos études que vous avez appris tout ça? Par exemple le groupe Boubarki? Ou culture perso? Ou alors vous êtes super forts?