[Entiers relatifs] Règle des signes

[rebouxo]

Et c'est dans vos études que vous avez appris tout ça? Par exemple le groupe Boubarki? Ou culture perso? Ou alors vous êtes super forts?

Pour Valvino, il est super fort. Moi je compense avec un âge canonique. C'est pas dans mes études que j'ai vu cela. C'est plutôt par intérêt personnel.

Bourbaki est le nom d'un collectif de prof de math qui se sont donnés pour mission de rénover l'enseignement des mathématiques avant la seconde guerre mondiale. Pour cela il fallait faire un nouveau cours d'analyse (l'étude des fonctions). Le sujet à rapidement déraper puisqu'ils ont reconstruit les maths à partir de pas grand chose (la théorie des ensembles (ZFC : Zermelo, Frankel et l'axiome du choix). Il faut alors tout reconstruire, parce que à ce stade on ne dispose pas de grand chose. En particulier les entiers positifs, puis négatifs, puis les autres nombres... Pour le commun des mortels, c'est assez abscons, pour les matheux ce fut une révolution et une aide précieuse.

Le groupe Bourbaki a survécu jusque à nos jours avec de nombreuses personnes qui ont collaboré à ce groupe. Par contre, les éléments n'ont plus l'air d'être très actifs (dernière publication en 1998).

Les apports positifs de Bourbaki sont la très grande rigueur de son traité, le point négatif c'est son haut degré d'abstraction. C'est des maths pures. Moi je lui reproche (mais ils n'y sont pour rien) d'avoir, en France, imposé une vision des maths beaucoup trop rigoureuse dans l'enseignement secondaire. Or, cette vision des maths est particulièrement mal adaptée aux techniciens et ingénieurs, qui ont besoin d'outils et dont les critères de validité sont beaucoup plus souple. Bref, Bourbaki, oui pour les gens dont les maths est le métier pour les autres je suis plus pour des maths à la mode du XVIIIe siècle : beaucoup plus intuitive et tant que cela fonctionne on ne se pose pas de questions. Mais je suis conscient des limites de cette vision.

On a reproché à Bourbaki d'avoir imposé les maths modernes dans l'enseignement élémentaire et secondaire, mais le groupe ne sait jamais prononcé à ce sujet.

Olivier

[M@rion]

personnellement je ne suis plus, et en plus on ne répond pas à ma question alors... :D

[Valvino]

Pour Valvino, il est super fort.

Oulà je t'arrête tout de suite. Je ne suis pas super fort, je suis juste passionné de mathématiques et c'est vrai que j'ai des facilités dans ce domaine. Mais super fort, non je ne pense pas.

Sinon pour la règle des signes, au collège j'ai pris ca comme une vérité et je n'ai pas réfléchi. Quand j'ai commencé à vraiment toucher en maths en sup', je me suis posé la question du bien fondé de ce genre de règle (une autre par exemple pourquoi (ab)/(bc)=a/c) et là les constructions formelles m'ont convaincu (sauf celle de R qui est assez profonde et que j'ai vraiment comprise en L2).

[Arnaud]

Comment prouve-t-on que le produit de deux nombres négatifs est positif s'il vous plaît ?

Quel est le but en fait ? Pour l'expliquer ou pour vraiment connaître le fond des choses ?

[rebouxo]

personnellement je ne suis plus, et en plus on ne répond pas à ma question alors... :D

Heu, c'est vrai c'est quoi la question ?

Olivier

[M@rion]

heu...j'aimerais seulement qu'une âme charitable récapitule les enjeux de la question de façon simplifiée... (histoire de comprendre de quoi vous parlez car ça m'intéresse aussi) :D

[M@rion]

Comment prouve-t-on que le produit de deux nombres négatifs est positif s'il vous plaît ?

Quel est le but en fait ? Pour l'expliquer ou pour vraiment connaître le fond des choses ?

je crois que connaître le fond des choses n'est pas à ma portée, mais je veux bien qu'on m'explique un peu les enjeux mathématiques, philosophiques, et autres... si ce n'est pas trop demander :D (désolée si ce message fait un peu redite avec le précédent mais je n'avais pas tout lu)

[Arnaud]

Si tu n'as pas besoin de rentrer dans le fond des choses, dis-toi simplement que la règle des signes est la même que la "règle des négations" en français.
Trouver les phrases ayant le même sens ( sans chipoter, hein ! ) :

C'est possible.
C'est impossible
Ce n'est pas possible.
Ce n'est pas impossible.

Cette règle est l'une des bases fondamentales pour les élèves.

Ensuite la démo de la règle des signes demande de connaitre les structures en mathématiques, que tu ne connais pas à mon avis.

[Valvino]

On peut aussi penser à :

Les amis de mes amis sont mes amis.
Les amis de mes ennemis sont mes ennemis.
Les ennemis de mes amis sont mes ennemis.
Les ennemis de mes ennemis sont mes amis.

[M@rion]

Merci pour ces réponses, et aussi, il faut bien le dire, pour votre patience :D

Non effectivement, j'ai fait un peu d'épistémologie, mais ça ne me servira probablement pas pour comprendre ce genre de choses abstraites... et puis les maths honnêtement c'est fait pour les matheux, nous n'avons pas les mêmes valeurs ( :D )

Plus sérieusement, j'ai bien compris que la démonstration exige un niveau que je n'ai pas, mais j'aurais simplement aimé comprendre si c'est possible deux ou trois enjeux évoqués dans ce post, notamment celui des lois dites "exotiques" par rapport à ma question initiale.

[sophiegermain]

Quand j'ai commencé à vraiment toucher en maths en sup', je me suis posé la question du bien fondé de ce genre de règle (une autre par exemple pourquoi (ab)/(bc)=a/c) et là les constructions formelles m'ont convaincu (sauf celle de R qui est assez profonde et que j'ai vraiment comprise en L2).

C'est en L2 que tu as appris la démonstration avec les lois exotiques (très joli nom d'ailleurs!)??? Purée mais j'ai dû loupé des cours à l'époque moi....

Tu es en M1 maintenant c'est ça?

[sophiegermain]

Marion,

je compatis!

[M@rion]

Merci je suis émue

[MC]

Le discussion est animée, ici!

Sérieusement, Marion, il faudrait que tu précise ta question:

Comment prouve-t-on que le produit de deux nombres négatifs est positif s'il vous plaît ?

1°) De quels nombres parles-tu? entiers relatifs, rationnels, réels? [ajouté: j'ai réalisé que le sujet du fil annonce : "entiers relatifs"]
2°) Tu veux une démonstration. Mais une démonstration à partir de quoi? Qu'es-tu prête à admettre comme base?
Est ce que ça te va si on admet comme base:
- les deux opérations + et $\times$ avec les règles usuelles valables aussi bien pour $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ (on peut préciser : anneau commutatif unitaire),
- le fait que $\leq$ est une relation d'ordre total qui vérifie $a\leq b \Rightarrow a+c\leq b+c$ et $(0\leq a\mbox{ et }0\leq b )\Rightarrow 0\leq a\times b$?
Dans ce cadre, je peux te donner une démonstration si tu le souhaites.
[ajouté aussi : ça utilise la démonstration de $(-a)\times(-b)=a\times b$, rebouxo l'a faite en partie, et finalement ça n'a pas grand chose à voir avec le fait d'être positif ou négatif. Le fait d'être positif ou nul intervient pour dire que $a\geq 0$ équivaut à $-a\leq 0$.]

Cordialement

[M@rion]

Merci pour votre réponse.

Je suis d'accord il faut que je précise ma question.

Pour la démonstration, j'en veux bien une supplémentaire (en précisant que compte tenu de mon niveau je ne comprendrai peut-être pas tout), même si celle qui m'a été proposée au départ me convient tout à fait.

Pour le reste, j'aurais souhaité comprendre les enjeux théoriques évoqués, (même si, il est vrai, comme je l'ai souligné d'ailleurs, cela dépasse le cadre et de mes connaissances, et celui de mon concours), notamment celui des lois dites exotiques, qui m'ont semblé créer une sorte de débat entre formalisme et empirisme à propos de la preuve en mathématiques (mes termes ne sont sans doute pas exacts, ne m'en tenez pas rigueur s'il vous plaît).

J'aurais aussi été intéressée par les prolongements de ces règles en physique notamment : que signifie-t-elle appliquée à des grandeurs concrètes (ex : est-ce que le signe "moins" a la même signification appliqué à des températures négatives par exemple, etc.) ?

[Valvino]

Quand j'ai commencé à vraiment toucher en maths en sup', je me suis posé la question du bien fondé de ce genre de règle (une autre par exemple pourquoi (ab)/(bc)=a/c) et là les constructions formelles m'ont convaincu (sauf celle de R qui est assez profonde et que j'ai vraiment comprise en L2).

C'est en L2 que tu as appris la démonstration avec les lois exotiques (très joli nom d'ailleurs!)??? Purée mais j'ai dû loupé des cours à l'époque moi....

Tu es en M1 maintenant c'est ça?

Non non en fait j'ai appris les constructions de N, Z, Q et R en sup' tout seul. J'ai appris celle de C (via l'idéal engendré par X^2+1) encore tout seul en L2 (j'ai arrêté la prépa en sup'). Ce n'est seulement en cours d'algèbre de L3 que j'ai vu celle de N, Z et Q. On a vaguement mentionné la construction de R en théorie de l'intégration de Lebesgue mais sans vraiment rentrer dans les détails. On a toujours pas parlé de celle de C! Tu n'as donc rien loupé :D

Je suis en L3 là.


Sinon je ne résiste pas à donner la construction de Z :D http://valentin.vinoles.free.fr/construction_Z.pdf (avec à la fin de la démo de la règle des signes). Ne t'inquiète pas Marion si tu ne comprends pas tout c'est assez difficile.

[MC]

Alors allons-y pour une démonstration qui utilise les propriétés des opérations d'un anneau (par exemple $\mathbb{Z}$), puis les propriétés de l'ordre données dans mon précédent message.

Commençons par montrer $(-a)\times b = -(a\times b)$ et $a\times (-b)= -(a\times b)$. La démonstration n'est pas très différente de celle qu'avait faite rebouxo, mais ici $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques, ou plus généralement deux éléments quelconques d'un anneau.
On a $(a\times b) + ((-a)\times b) = (a+(-a))\times b = 0 \times b = 0 $ et donc $(-a)\times b$ est bien l'opposé de $a\times b$. L'autre égalité se montre de la même façon (j'ai mis les deux égalités parce que ça marche aussi dans le cas où la multiplication n'est pas commutatitve - ça arrive, par exemple pour la multiplication des matrices...)

Ensuite on a
$$(-a)\times (-b) = -(a\times (-b))= -(-(a\times b)) = a\times b\;.$$
La dernière égalité peut faire craindre une entourloupe, mais c'est juste que "l'opposé de l'opposé de $x$ est $x$".

Jusqu'ici il n'a pas été question de positif ou négatif. Faisons maintenant intervenir les forces de l'ordre.
On a $a \geq 0 \Leftrightarrow a+(-a) \geq 0+(-a) \Leftrightarrow 0\geq -a$.
Supposons $a \leq 0$ et $b\leq 0$. Alors d'après ce qui précède $ -a\geq 0$ et $-b\geq 0$, d'où $(-a)\times (-b) \geq 0$. Comme on a montré $(-a)\times (-b) = a\times b$, on en déduit $a\times b \geq 0$.

Je ne résiste pas à l'envie de mettre mon grain de sel dans l'histoire de la construction de $\mathbb{Z}$. Personne, et même aucun ordinateur, ne travaille avec les entiers relatifs représentés par des couples d'entiers naturels. Tout le monde représente un entier relatif comme un entier naturel accompagné d'un signe (qui est une information binaire), et on peut très bien construire formellement $\mathbb{Z}$ à partir de $\mathbb{N}$ comme ça. Mais cette "économie de moyens" qui marche bien dans ce cas particulier ne peut pas se faire tout le temps : connaissez-vous un moyen plus économique de représenter les nombres rationnels que par un couple d'entiers relatifs (numérateur, dénominateur), dont le deuxième est non nul? Mon ordinateur n'en connaît pas non plus. Ici, pas moyen de couper aux classes d'équivalences de couples d'entiers, qu'on soit bourbakiste ou non.

Cordialement

[sophiegermain]

Pour le reste, j'aurais souhaité comprendre les enjeux théoriques évoqués, (même si, il est vrai, comme je l'ai souligné d'ailleurs, cela dépasse le cadre et de mes connaissances, et celui de mon concours), notamment celui des lois dites exotiques, qui m'ont semblé créer une sorte de débat entre formalisme et empirisme à propos de la preuve en mathématiques (mes termes ne sont sans doute pas exacts, ne m'en tenez pas rigueur s'il vous plaît).

Vous passez un concours de quoi, enfin si c'est pas indiscret bien sûr.

[sophiegermain]

mais c'est juste que "l'opposé de l'opposé de x est x".

En fait tout repose sur ça? Est-ce que ça fait partie du fait que Z est un anneau?

[MC]

Bonsoir,

Je ne dirai pas que tout repose sur ça. C'est un des petits pas qui amène à l'égalité $(-a)\times(-b)=a\times b$ dans $\mathbb{Z}$ et plus généralement dans n'importe quel anneau.

Cordialement