Calcul et équations dans R

[M@rion]

Bonjour,

1) comment passe-t-on de (a - b)³ à a³ - 3a²b + 3ab² - b³

dans l'identité remarquable correspondante ?? (je ne sais pas comment développer (a - b)(a - b)(a - b))
même question pour a³ - b³ (si jamais j'oublie ce qui va avec, je ne sais pas développer)

2) Avez-vous un "truc" pour mémoriser les identités remarquables avec des cubes ?

merci par avance pour votre aide

3) j'en profite pour ajouter une autre question :
dans les équations du type ax + b = cx + d, pourquoi faut-il que d soit égal à b pour qu'il y ait une solution ?

[OG]

Bonjour

Pour la question 2) on peut l'apprendre par coeur tout simplement et comme il y a de la symétrie il y a peu de choses à mémoriser

Pour le 1) tout d'abord $(a-b)^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)$. Ensuite
comme on dit on développe et on regroupe les termes identiques.
Sans tout détailler il faut se rappeler que $a\times(c+d)=ac+ad$. On commence
alors par écrire $(a-b)^3=(a-b)\times (a-b)^2$ et s'occuper du carré.
$(a-b)^2=(a-b)\times (a-b)=a\times(a-b)-b\times(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$.
D'où
$(a-b)^3=(a-b)\times(a^2-2ab+b^3)=a\times(a^2-2ab+b^2)-b\times(a^2-2ab+b^2)$
$=a^3-2a^2b+ab^2-ba^2+2ab^2-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2+b^3$
J'espère ne pas avoir été trop rapide.
J'ai utilisé $a b=ba$ et $a\times 2ab=2a^2b$ notamment

O.G.

[M@rion]

Merci beaucoup, je vais encore avoir deux ou trois questions sur les équations.

[M@rion]

voilà les questions sur les équations du premier degré :

- dans les équations du type ax + b = cx + d, pourquoi faut-il que d soit égal à b pour qu'il y ait une solution ?

- comme je ne comprends pas cette équation, je ne comprends pas non plus l'inéquation de la même forme
ax + b < cx + d

- par ailleurs, je ne comprends pas comment on résout l'équation de type (ax + b) x (cx + d) = 0

- enfin j'ai une question concernant les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues :
dans ax + by = c
si b = 0
si a = 0
et
si c = 0
on a S = $\R$²
je ne sais pas ce que cela signifie

votre aide sera vraiment la bienvenue (comme toujours) car je suis bloquée dans ma progression...

[rebouxo]

voilà les questions sur les équations du premier degré :

- dans les équations du type ax + b = cx + d, pourquoi faut-il que d soit égal à b pour qu'il y ait une solution ?

Non certainement pas ! Je n'aime pas trop les formules (du moins dans un premier temps). Je suis certain que les formules n'ont d'intérêt si elles sont données brutalement.

Résolution des équations $ax+b = cx+ d$

[*] les x d'un côté, le reste de l'autre
Pour cela j'enlève la même quantité des deux côtés (les balances et les équations partagent beaucoup de points communs).
$ax + b - cx - b = cx +d - cx - b$

Miracle cela se simplifie : $ax - cx = d -b$.

Je factorise pas $x$ : $(a-c)x = d-b$.
[/*]
[*] Si $a=c$ alors tous les nombres sont solutions si $d-b = 0$. Sinon aucun nombre n'est solution.
[/*]
[*]Si $a \not = c$, alors $a-c \not = 0$ et on peut diviser par $a-c$. Il n'y a qu'une seule solution :
$x = \dfrac{d-b}{c-a}$.
[/*]

Maintenant, je pense que l'intérêt de la formule est assez faible, mieux vaux savoir les différentes étapes. Mais c'est aussi un point de vue personnel, je n'aime pas apprendre par coeur, donc je n'aime pas les formules !

- comme je ne comprends pas cette équation, je ne comprends pas non plus l'inéquation de la même forme
ax + b < cx + d

On mets tout du même côté du signe $<$. Puis on manipule les inégalités (attention aux multiplications par un négatif) ou on apprend la formule.

- par ailleurs, je ne comprends pas comment on résout l'équation de type (ax + b) x (cx + d) = 0

Un produit de nombres est nul si l'un des nombres est nul. En général, on parle de facteurs.
$(ax+b) \times (cx+d) = 0$ soit si $ax+b = 0$ soit si $cx+d = 0$

- enfin j'ai une question concernant les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues :
dans ax + by = c
si b = 0
si a = 0
et
si c = 0
on a S = $\R$²
je ne sais pas ce que cela signifie

Cela signifie que tous les valeurs $x$ et $y$ possibles sont solutions.

votre aide sera vraiment la bienvenue (comme toujours) car je suis bloquée dans ma progression...

Il serait bon de voir ici, le côté graphique. $y = ax+b$ c'est l'équation d'une droite, on peut déduire énormément de chose du graphique. Voir les livres de seconde actuelle.

[M@rion]

Merci beaucoup.

j'ai honte je viens de comprendre pourquoi si a = c il faut que d soit égal à b (dans la première équation)

Pour l'équation suivante (ax + b) x (cx + d) = 0, je ne comprends toujours pas pourquoi on a comme solutions -b/a et -d/c (en admettant que a et c soient deux réels non nuls).

(PS: j'avais déjà travaillé les équations avec des livres de seconde, mais je ne me souvenais pas de tout ça )

[rebouxo]

Merci beaucoup.

j'ai honte je viens de comprendre pourquoi si a = c il faut que d soit égal à b (dans la première équation)

Pour l'équation suivante (ax + b) x (cx + d) = 0, je ne comprends toujours pas pourquoi on a comme solutions -b/a et -d/c (en admettant que a et c soient deux réels non nuls).

(PS: j'avais déjà travaillé les équations avec des livres de seconde, mais je ne me souvenais pas de tout ça )

Prenons un nombre quelconque $a$ multiplions par $0$ : le résultat vaut $0$.

Ici, on un produit qui est nul, IL FAUT IMPÉRATIVEMENT que l'un des deux nombres soit nul sinon le produit ne peut pas être nul, ce n'est tout simplement pas possible.

Olivier

[M@rion]

merci, ça je pense avoir compris, ce que je ne comprends pas c'est pourquoi on a comme solutions -b/a et -d/c

[M@rion]

Merci, donc les développements sont de ce style :

$(ax + b ) \times 0 = 0$

...

ce que je ne comprends pas vraiment, c'est qu'on puisse ajouter -b aux deux membres de l'équation, alors que zéro est facteur à gauche (ce n'est pas intuitif pour moi)

Stoooooop.

Une équation c'est une balance à plateau à l'équilibre. Pour conserver l'équilibre il faut faire la même chose à gauche et à droite.

Dans ton calculs $ (ax+b) \times 0 =0$ ben oui et peu importe ce que vaut $ax+b$ car multiplier par $0$ donne toujours $0$.

Si $a$ et $b$ sont différents de $0$, alors $a \times b$ est différent de $0$.
Par contre si l'un des deux est nul le produit est nul.

$(ax+b)(cx+d) = 0$ là tu as deux nombres dont le produit est nul, l'un des deux est nul
soit $ax+b= 0$ soit $cx+d =0$.

$ax+b = 0$, j'enlève $b$ de chaque côté, ce qui donne : $ax +b - b = 0 - b$, soit $ax = -b$. Je divise par $a$ de chaque côté, ce qui donne : $\dfrac{a}{a}x = - \dfrac{b}{a}$, soit $a = -\dfrac{b}{a}$.

Même chose pour le deuxième.

Ta réflexion est tout à fait logique, effectivement il y a des choses qui ne vont pas ! Il faut avoir deux facteurs presque toujours non nuls sauf pour quelques valeurs que l'on recherche.

Olivier

[M@rion]

y'a comme un bogue là (ou alors je parle toute seule et je m'appelle Olivier...CQFD )

[rebouxo]

y'a comme un bogue là (ou alors je parle toute seule et je m'appelle Olivier...CQFD )

Heuh, je crois que j'ai édité ton message au lieu de citer ! Je suis un gros Bug. C'est de ma faute, c'est de ma faute. Je réciterais trois pater et 5 avé :D

Olivier

[M@rion]

pas de souci

merci pour l'explication au fait :)

[M@rion]

- Quand toutes les valeurs possibles peuvent être solutions d'une équation, quand emploie-t-on le symbole R et quand emploie-t-on R² ?

- Autre question, de méthode, cette fois-ci : comment fait-on pour vérifier une équation qui n'est pas donnée dans l'énoncé, et surtout si l'équation en elle-même est juste ?

[guiguiche]

- Quand toutes les valeurs possibles peuvent être solutions d'une équation, quand emploie-t-on le symbole R et quand emploie-t-on R² ?

Le symbole $\R$ s'emploie dans le cas d'équation(s) comportant une seule inconnue (x par exemple) pour la(es)quelle(s) tou s les réels conviennent. Lorsqu'il y a plusieurs inconnues et que toutes les valeurs réelles conviennent pour chaque inconnue, on utilise $\R^2$ (pour 2 inconnues), $\R^3$ (pour 3 inconnues) ...
Un système d'équations à 3 inconnues (x, y, z par exemple) se résout dans $\R^3$ puisque l'on recherche l'ensemble des triplets $(x,y,z)$ qui vérifient le système.

- Autre question, de méthode, cette fois-ci : comment fait-on pour vérifier une équation qui n'est pas donnée dans l'énoncé, et surtout si l'équation en elle-même est juste ?

Ton équation doit être vérifiée lorsque tu remplaces ton(tes) inconnue(s) par les valeurs fournies dans l'énoncé. Mais cela ne prouve pas que l'équation trouvée est correcte, simplement qu'elle est potentiellement correcte. Par contre, si ton équation n'est pas vérifiée par les conditions de ton énoncé alors elle est nécessairement fausse.