Différentiabilité de l'application produit scalaire

[brahim121985]

bonjour,
$H$ un espace pré hilbertien sur $\mathbb{R}$ et $||.||$ la norme qui provient du produit scalaire, on sait que l'application suivantes est différentiable en tout point de $H$ :
$f:H \rightarrow \mathbb{R}$
$ x \mapsto <x,x>=||x||^2$
car pour un point $x \in H$ :$f(x+h)=<x+h,x+h>=<x,x>+2<x,h>+<h,h>=f(x)+2<x,h>+||h||^2$ , $ h \mapsto 2<x,h>$ est linéaire continue , et $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{||h||^2^}{||h||}=0$ donc $f$ est différentiable en $x$ , $ \forall x \in H $. et sa différentielle est :
$f':H \rightarrow \mathcal{L}_c (H,\mathbb{R})$
$ x \mapsto (a \mapsto 2<x,a> )$

mon problème c'est la différentiabilité de cette application si $H$ est un espace pré hilbertien sur $\mathbb{C}$ , en un point $x \in H$ :
$f(x+h)=<x+h,x+h>=<x,x>+2Re<x,h>+<h,h>=f(x)+2Re<x,h>+||h||^2$ , $ h \mapsto 2Re<x,h> $ n'étant pas linéaire , on peux rien dire sur la différentiabilité de $f$ en $x$.
comment on peux montrer (dans ce cas ) que $f$ est différentiable , ou n'est pas différentiable , merci de répondre .

[Tonn83]

Intéressante question.

L'application $h\mapsto 2Re<x,h>$ est R-linéaire mais pas C-linéaire. Donc, l'application que tu donnes est bien différentiable (en analyse réelle). :) Remarque, que peux-tu dire sur $(h,k)\mapsto Re <h,k>$ ? Dans ce cas, le premier résultat que tu énonces ne contient-il pas déjà le deuxième ?

(Note cependant qu'il existe effectivement une notion similaire de différentiabilité sur C.)