Périmètre du cercle et aire du disque

[M@rion]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner les démonstrations du périmètre du cercle, et de l'aire du disque (si ce n'est pas trop complexe pour moi) s'il vous plaît ?

[rebouxo]

Pour le périmètre du cercle, il y a la démonstration du à Archimède qui est un peu pénible mais compréhensible. ceci donne une idée de la preuve. On inscrit dans le cercle un carré et on trace le carré circonscrit au cercle. Le périmètre du cercle est compris entre les périmètres des carrés. Puis on double le nombre de côtés... Quand le nombre de côtés devient grand, le périmètre des polygones est proche du périmètre du cercle. En fait on n'a pas démontrer que le périmètre du cercle est $2 \pi r$... Mais on peut encadrer la valeur de $\pi$. :D Les démonstrations de la formule du périmètre du cercle demande de savoir faire du calcul intégral. Il faut alors savoir comment définir $\pi$ (il y a une enfilade la dessus).

Par contre passer du périmètre à l'aire ça c'est plus simple : voir pour les animations

Olivier

[M@rion]

Merci beaucoup, c'est très intéressant.

Je vais regarder tout cela avec attention.

[Valvino]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner les démonstrations du périmètre du cercle, et de l'aire du disque (si ce n'est pas trop complexe pour moi) s'il vous plaît ?

Comme souvent en maths, quand on veut démontrer un truc, il faut se demander de quoi on part. Ici, de quelle définition du nombre pi part-on? Et quelle est la définition de l'aire?

Une fois ces deux définitions posées, on peut commencer à travailler (et la réponse sera assez différente en fonction des définitions choisies)!

[Tonn83]

Voir aussi la rubrique définition de $\pi$ sur ce forum.

:)

[M@rion]

Super merci. Je vais essayer de comprendre ce qui est à ma portée, et de reformuler :D

[M@rion]

Alors si j'ai bien compris :

1) la démonstration grecque ne donne que des valeurs approximatives et c'est seulement le calcul intégral qui permet de donner les valeurs exactes
2) le nombre pi permet d'intégrer au calcul du périmètre et de l'aire la forme du cercle, pour ainsi dire, car si on enlève Pi aux formules, on a pour le périmètre celui d'un carré, et pour l'aire idem, d'où le recours à des polygones pour affiner le calcul ?

Ce que je ne comprends pas c'est comment on a fini par trouver la valeur exacte de Pi... si quelqu'un veut bien me l'expliquer s'il vous plaît (j'ai regardé le post consacré à la définition de pi, mais cela reste un peu "hermétique" pour moi).

[rebouxo]

Alors si j'ai bien compris :

1) la démonstration grecque ne donne que des valeurs approximatives et c'est seulement le calcul intégral qui permet de donner les valeurs exactes

Ben, non. Justement pas de bol pour les matheux (enfin si peut-être cela leur permet de gagner leur croute) $\pi$ n'a pas de valeur exacte : ce n'est pas un nombre décimal, ce n'est pas non plus une fraction, pire c'est un nombre que l'on dit transcendant (avec un nom comme cela c'est forcément grave :D ) : $\pi$ n'est pas solution d'une équation à coefficient entier de quelques degrés que ce soit ! Donc aucune chance de trouver une valeur exacte à $\pi$. D'ailleurs l'expression la quadrature du cercle, synonyme de problème difficile en garde une trace. Quarrer un cercle c'est trouver un carré de même aire, si cela était possible alors on pourrait construire $\pi$ à la règle et au compas, or les seules constructions possibles à la règle et au compas sont les fractions et les racines carrées. Or $\pi$ n'est ni l'un ni l'autre. Enfin, un japonais Tanaka à fait calculer 1 206 milliards de décimales de $\pi$ et on reste toujours dans des valeurs approchées de $\pi$. Enfin pour les mattheux, parce que il y a belle lurette que le physicien a jeté l'éponge. C'est notre côté extrémiste, ça !

2) le nombre pi permet d'intégrer au calcul du périmètre et de l'aire la forme du cercle, pour ainsi dire, car si on enlève Pi aux formules, on a pour le périmètre celui d'un carré, et pour l'aire idem, d'où le recours à des polygones pour affiner le calcul ?

Les polygones permettent de construire des valeurs approchées de $\pi$. A l'époque d'Archi, on devait déjà savoir que $\pi = \dfrac{22}{7}$. Il revient à Archi, l'honneur (bon c'est un génie, Archi) d'avoir inventé un moyen de préciser la valeur de $\pi$. Sa méthode sera d'ailleurs utilisé jusqu'au XVIIe siècle. Et, cette méthode n'est pas très efficace en terme de vitesse de calcul.

Le but de ces formules c'est surtout de pouvoir calculer l'aire et le périmètre d'un cercle, de faire une quadrature, donc.

Ce que je ne comprends pas c'est comment on a fini par trouver la valeur exacte de Pi... si quelqu'un veut bien me l'expliquer s'il vous plaît (j'ai regardé le post consacré à la définition de pi, mais cela reste un peu "hermétique" pour moi).

Voir ci-dessus. Après comme disait Valvino, le problème c'est de définir de quoi on parle. Comme on a pas mal progresser en math au cours du XXe siècle (en particulier sur les nombres et sur la notion d'aire) on ne peut plus définir $\pi$ comme le rapport de la circonférence sur le diamètre. On commence par définir les nombres, puis les fonctions trigo (cos, sin, ...), puis $\pi$, puis on définit l'aire et on termine par la démonstration que l'aire d'un disque c'est $\pi r^2$. Évidemment, si on fait cela avec des élèves de primaire ça va pas bien se passer :D . Il n'est pas possible d'enseigner les maths tout en les rendant parfaitement logiquement cohérente.

Olivier

[Tonn83]

Comme on a pas mal progresser en math au cours du XXe siècle (en particulier sur les nombres et sur la notion d'aire) on ne peut plus définir $\pi$ comme le rapport de la circonférence sur le diamètre.

Mais si, on peut toujours définir pi comme le quotient du périmètre par le diamètre. Où serait le problème ? Cette définition (toujours valable à tous les niveaux) a l'avantage d'être compréhensible de tous. On peut ensuite constater que la longueur du cercle unité est la période d'une fonction sinusoïdale, une fois introduits les paramétrages. D'ailleurs, comment définis-tu la longueur d'une courbe continue ? La définition est-elle vraiment différente aujourd'hui ?

[rebouxo]

Me suis mal exprimé. Je ne veux pas dire que l'on ne peut plus définir $\pi$ comme le quotient du périmètre sur le diamètre, mais je voulais présenter succinctement les différentes étapes d'une présentation rigoureuse des maths, pour rebondir sur les propos de Valvino. J'aurais du dire, que l'on peut définir $\pi$ d'une autre manière que celle là.

Olivier

[Valvino]

Mais si, on peut toujours définir pi comme le quotient du périmètre par le diamètre. Où serait le problème ? Cette définition (toujours valable à tous les niveaux) a l'avantage d'être compréhensible de tous. On peut ensuite constater que la longueur du cercle unité est la période d'une fonction sinusoïdale, une fois introduits les paramétrages. D'ailleurs, comment définis-tu la longueur d'une courbe continue ? La définition est-elle vraiment différente aujourd'hui ?

Oui on peut définir $\pi$ comme cela, mais franchement c'est la galère. Faut ensuite montrer géométriquement que la fonction sinus est dérivable (donc faut être vraiment rigoureux, il faut se farcir l'axiomatique de Hilbert, bref...), puis après en déduire les développements en série entière de cosinus et sinus. Ensuite c'est re-galère pour relier tout ca à l'exponentielle, surtout si on prend comme définition de l'exponentielle l'unique solution de $y'=y$ avec $y(0)=1$. Et puis après pour passer aux complexes, on s'amuse...

Je suis d'accord que c'est possible. Souhaitable, j'en doute! Le plus simple, c'est de poser les définitions avec les séries entières. Même si c'est anti-intuitif, c'est plus maniable!

[M@rion]

Merci pour ces réponses.

Je ne comprends pas, avec 22/7 n'a-t-on pas quelque chose qui fait office de "valeur exacte" dans les calculs ?

Qu'appelle-t-on précisément une "valeur exacte" ?

[Tonn83]

Oui on peut définir $\pi$ comme cela, mais franchement c'est la galère. Faut ensuite montrer géométriquement que la fonction sinus est dérivable (donc faut être vraiment rigoureux, il faut se farcir l'axiomatique de Hilbert, bref...), puis après en déduire les développements en série entière de cosinus et sinus. Ensuite c'est re-galère pour relier tout ca à l'exponentielle, surtout si on prend comme définition de l'exponentielle l'unique solution de $y'=y$ avec $y(0)=1$. Et puis après pour passer aux complexes, on s'amuse...

Oui, c'est possible, et c'est très simple !

On prend le cercle unité de R2. La position d'un point M sur le cercle unité est repéré par son abscisse curviligne x. On définit $\cos(x)$ et $\sin(x)$ comme les coordonnées de ce point. Par définition, les fonctions cosinus et sinus sont $2\pi$-périodiques. Où est la difficulté ?

Comment démontrer que sinus est dérivable ?
A la physicienne, une petite variation angulaire $dx$ sur la position du point $M$ sur le cercle donne une variation de son ordonnée de $d\left[\sin(x)\right]$, et de son abscisse de $d\left[cos(x)\right]$. Mais on voit apparaitre un triangle rectangle dont l'hypothénuse vaut $dx$ et donc les petits côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Leurs longueurs algébriques valent $d\left[\cos(x)\right]$ et $d\left[\sin(x)\right]$. On constate que l'angle entre le côté parallèle à l'axe des ordonnées et l'hypothénuse vaut $x$. Il s'en suit que $d\left[\sin(x)\right]=+\cos(x)dx$. Avec un signe + (discussion selon qu'on soit à gauche ou à droite de l'axe des ordonnées).
On peut faire le même raisonnement sur le cosinus. Et on en déduit par récurrence que cos et sin sont $C^{\infty}$.
Moyennant des manipulations relativement simples sur les infinitésimaux qui trouve leurs fondements dans l'analyse non standard, le raisonnement à la physicienne est rigoureusement exact, même s'il ne rentre pas dans la logique bourbakiste.

Comment définir l'exponentielle ?
On pose $\exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)$.

[rebouxo]

Il faut d'abord construire soigneusement l'analyse non-standard. Peut-on le faire sans utiliser $\pi$ ? (je n'en sais rien, je suis complètement incultes en analyse non standard).

Sinon, j'aime bien ce côté math mixte pour reprendre une expression du XVIIIe siècle.

Par contre le on pose : $\exp(ix) = \cos(x)+i\sin(x)$ me paraît arriver un peu comme un cheveu sur la soupe.
Olivier

[M@rion]

Bon tant pis *!! (barf barf )

*pour ma question

[rebouxo]

Bon tant pis *!! (barf barf )

*pour ma question

Non, on est un peu reparti sur le problème des fondements des maths, mais c'est une question centrale des maths. Toujours le problème de la reconstruction des maths a posteriori.

$\dfrac{22}{7}$ est une valeur approchée rationnelle (synonyme de fractionnaire). Il y en a plein plus ou moins précise. Celle là, permet une bonne approximation, avec pas trop de chiffres à retenir.
Il y a aussi $\dfrac{355}{113}$ qui a eu assez de succès.

La valeur exacte de $\pi$ c'est sa valeur exacte :D . Pour définir cela, il faudrait être capable de définir précisément $\pi$, puis montrer que $\pi$ n'est pas rationnel (ce n'est pas une fraction) et qu'il est transcendant (on ne peut pas l'exprimer sous la forme d'un polynôme à coefficient entier). Donc on est bien dans la mouise. Parce que la première c'est pas trop dur (pour un prof de math) par contre la seconde, je me souviens d'avoir sérieusement souffert sur un problème d'agreg... Je ne vous dit que cela ma brave dame. Donc $\pi$ nous donne pas mal de difficulté. Ce que l'on facilement, c'est des valeurs approchées.


Olivier
Si on veut des formules exactes et finies, il faut aller voir du côté de la trigo. Mais on ne fait que déplacer le problème : comment calcule-t-on les fonctions trigo ?

[M@rion]

merci beaucoup :D