Géométries (postulats)

[M@rion]

Bonjour,

Quels sont les postulats des géométries projective, affine, de Lobatchevski, de Riemann (et autres), par rapport à la géométrie classique euclidienne s'il vous plaît ?

A quel modèle se réfère la géométrie dans l'espace ?

[rebouxo]

Heu, help les mecs (et les filles sur ce coup là je ne prends toutes les aides possibles).

Commençons par répondre par la géométrie de l'espace : cela dépend... Usuellement, on considère que l'espace n'est pas déformé, il est donc euclidien. Par un point extérieur à une droite il passe une et une seule parallèle. Maintenant, ça dépend vraiment. Si tu voyages sur Terre, la géométrie euclidienne est à abandonner sauf si tu aimes creuser : essaye donc de faire Paris Wellington en ligne droite. Donc, ici on n'est plus en géométrie euclidienne.

Ensuite : c'est quoi l'espace ? Pour moi un espace c'est un ensemble de point ayant des coordonnées en nombres finis (je ne sais vraiment pas ce qui se passe en dimension infinie). Donc pas forcément l'espace physique qui nous entoure. Pour les physicien depuis tonton Albert, on vit dans un monde avec 4 dimensions (3 de distances et une de temps). Il faudrait une bonne discussion sur ce que l'on entend par espace. Ainsi, on peut aussi se limiter au cas n=1 et n=2. A ce propos, le livre flatland Edwin Abott est assez rigolo et instructif.

Lobatchevski a conçu une géométrie non euclidienne (deux dimensions) : par un point il passe une infinité de droite. Les gravures d'Escher sont une bonne représentation de ce type de géométrie. La somme des angles d'un triangle est inférieur à 180.

Riemann a conçu un espace déformé. Dont la distance dépend de l'emplacement dans l'univers. Autant que je comprenne c'est la géométrie utilisée par la physique relativiste de tonton Albert. Mais là honnêtement si quelqu'un voulait bien infirmer. Ici, la somme des angles est supérieur à 180 (mais cela doit dépendre de l'espace considéré), bon c'est le cas de la sphère !

Enfin la géométrie projective est la base théorique de la perspective. Ici, toutes les parallèles se croisent sur une droite située à l'infini. On plonge ainsi un espace à trois dimensions dans un espace à deux dimensions. C'est super pratique pour résoudre tout plein de problèmes (et pas seulement de géométrie) bien que franchement technique. Je me dis que je devrais me pencher un jour là dessus (lire le livre de géométrie projective dans ma biblio).

Pour moi Géométrie affine : géométrie des points, par opposition à géométrie vectorielle (celle des vecteurs, donc, n'ayons pas peur des tautologies). La première reposant sur la seconde.

Olivier

[M@rion]

Merci beaucoup :D

Je vais "méditer" un peu tout ça, c'est très riche.

Avec quels modèles travaille-t-on en astronomie actuellement ?

[projetmbc]

par un point il passe une infinité de droite.

Hum je crois bien...

[Nouillette]

Y a la géométrie différentielle aussi... celle-là utilise la topologie, les sous variétés et tout le tralala... bref c'est une horreur
mais elle permet d'expliquer des trucs comme le ruban de Möbius ^^

[rebouxo]

Merci beaucoup :D

Je vais "méditer" un peu tout ça, c'est très riche.

Avec quels modèles travaille-t-on en astronomie actuellement ?

Géométrie Riemanienne au niveau locale. Les masses déforment l'espace. Conséquence : on peut voir des étoiles cachées derrière le soleil ! Ou des galaxies derrières une galaxie proche : Croix d'Einstein.

Autre application : la durée de la révolution de Mercure, ne peux pas s'expliquer si l'on ne prend pas en compte la relativité.

Olivier

[M@rion]

Bonjour,

Merci pour ces réponses.

Ensuite : c'est quoi l'espace ? Pour moi un espace c'est un ensemble de point ayant des coordonnées en nombres finis (je ne sais vraiment pas ce qui se passe en dimension infinie). Donc pas forcément l'espace physique qui nous entoure. Pour les physicien depuis tonton Albert, on vit dans un monde avec 4 dimensions (3 de distances et une de temps). Il faudrait une bonne discussion sur ce que l'on entend par espace. Ainsi, on peut aussi se limiter au cas n=1 et n=2. A ce propos, le livre flatland Edwin Abott est assez rigolo et instructif.

Il n'a écrit qu'un seul livre ce monsieur (ou cette madame :D ) ? Quel est le titre s'il vous plaît ?

Lobatchevski a conçu une géométrie non euclidienne (deux dimensions) : par un point il passe une infinité de droite. Les gravures d'Escher sont une bonne représentation de ce type de géométrie. La somme des angles d'un triangle est inférieur à 180.

là je suppose que vous parlez de droites parallèles ?

Enfin la géométrie projective est la base théorique de la perspective. Ici, toutes les parallèles se croisent sur une droite située à l'infini. On plonge ainsi un espace à trois dimensions dans un espace à deux dimensions.

Comment ça fonctionne ? Vous pouvez me donner un exemple pas trop difficile ?

Géométrie Riemanienne au niveau locale. Les masses déforment l'espace. Conséquence : on peut voir des étoiles cachées derrière le soleil ! Ou des galaxies derrières une galaxie proche : Croix d'Einstein.

Autre application : la durée de la révolution de Mercure, ne peux pas s'expliquer si l'on ne prend pas en compte la relativité.

Olivier

Niveau local, qu'est-ce que cela signifie ? Vous pouvez développer un peu l'ensemble s'il vous plaît ?

[rebouxo]

Edwin Abbot, flatland : ici. Existe aussi en édition de poche.

Oui, j'ai oublié parallèles. Je ne comprenait pas le message de projetmbc. Maintenant j'ai compris.

Sur la perspective je te renvoie ici. Il y a des schéma, des dessins, des machines à perspectives.

L'idée générale c'est que des droites parallèles (voies de chemin de fer) semblent se couper loin... Mais elles ne se coupent pas n'importe comment. L'étude des pavages est très intéressante pour savoir si tu es dans un tableau avec une perspective correcte ou non. Pour la géométrie projective, je ne maîtrise pas assez pour pouvoir te faire ne serait-ce qu'une introduction. Ce dont je me souviens est très formel et demande de bonne base (que je n'avais pas à l'époque, alors maintenant, pfff).

En astrophysique, on distingue le niveau local (système solaire -> galaxie) par opposition à l'Univers en entier. La question de la forme générale de l'univers n'est pas close. Par contre au niveau de petite distance (pour l'astronomie...) je crois que c'est très bien maitrisé. La géométrie de Riemann s'accommode bien du côté local.

Pour la croix d'Einstein, l'idée est que la galaxie sur la trajectoire du rayon Quasar-Terre, déforme l'espace. Les lignes droites ne sont plus le plus court chemin et la lumière suit toujours le plus court chemin. Mais se sont des lignes courbes (des géodésiques) qui font le tour de la galaxie. Un peu le même problème que sur la Terre : la ligne droite ne permet pas d'aller de Paris à Wellington. Il faut suivre la surface terrestre. Ce problème a été la première validation des théorie d'Einstein, lors de l'éclipse de 1911 (ou 12). On a pu observé une étoile dont la direction était exactement celle du Soleil.

Pour Mercure, si l'on travail avec la théorie de Newton, Mercure tourne trop vite (je crois que c'est 4 jours). On postulé l'existence d'une planète invisible qui perturberait la révolution de Mercure. La théorie d'Einstein donne la bonne durée de révolution.

Tu vas vite arrivé au bout de mes possibilités de développement :D

Olivier

[M@rion]

Pas de souci je garde mes questions vaches pour plus tard de toutes façons :D (dans l'immédiat, je vais peut-être en avoir encore deux ou trois sur mon programme).

Merci pour les explications, c'est intéressant de voir comme les maths peuvent influer sur les sciences.

[rebouxo]

Si tu viens de la philo, Bachelard est un incontournable (même si c'est rudement dure à lire). Sur les relations des maths et de la physique est la nature de la science, Gaston c'est quand même une super pointure.

Olivier

[M@rion]

La philo, beuuurk !!

Gaston Bachelard c'est un personnage de BD je crois, effectivement c'est quelqu'un

[rebouxo]

Par Franquin la BD sur Gaston

Olivier

[M@rion]

Un ancien président des Etats-Unis aurait écrit une BD sur l'épistémologie, on en apprend de belles (c'est pas gentil de se moquer !) ! Je retourne réviser ça m'agace tout ça m'enfin !

[rebouxo]

Un ancien président des Etats-Unis aurait écrit une BD sur l'épistémologie, on en apprend de belles (c'est pas gentil de se moquer !) ! Je retourne réviser ça m'agace tout ça m'enfin !

et je dirais même plus lol et mdr.

Olivier