[1ère] Des asymptotes multiples

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Mystic

[1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

Bonsoir tout le monde, j'ai un DM à rendre mais je bloque sur la 2ème question d'un exo intitulé "des asymptotes multiples", alors voilà l'énoncé :

f est la fonction définie sur Df= $\R$-{-1;1} par :
f(x)=(${x}^{2}$-3)/(${x}^{2}$-1)

Dans un repère orthonormal, C est la courbe représentative de f.

b) Etudier les limites de f en +$\infty$ et -+$\infty$, quelle interprétation graphique peut-on en déduire ?

Moi j'ai trouvé 0 et 0 comme limites mais je ne voi pas ce que l'on peut en déduire graphiquement, pouvez-vous m'aider svp ?

Jean-charles
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Jean-charles »

Bonjour,
La limite ne vaut pas 0, comment as tu procédé ?
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Pas d'aide par mp.

Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

Ah, je me disais aussi, bah j'ai fait $\ds\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{{x}^{2}-3}{{x}^{2}-1}={x}^{2}-3.(1)/({x}^{2}-1)=+\infty$.1/+$\infty$=+$\infty$.0=0

J'espère que c'est clair, les "." étant le signe multiplié que je n'ai pas trouvé dans Latex.

Jean-charles
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Jean-charles »

Non ce n'espas clair du tout:
Pour corriger:

Code : Tout sélectionner

\dfrac{a}{b} 

donne $\dfrac{a}{b}$
et

Code : Tout sélectionner

\times 
donne $\times$
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Pas d'aide par mp.

Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

J'ai beaucoup de mal avec Latex, je vais tâcher de le refaire :S

Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

$\ds\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\dfrac{{x}^{2}-3}{{x}^{2}-1}$ = $\ds\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\dfrac{{x}^{2}-3}$ $\times$ $\dfrac{1}{{x}^{2}-1}$ = +$\infty$ $\times$ (1/ +$\infty$) = +$\infty$ $\times$ 0 = 0



J'espère que c'est plus claire, l'autre c'est pareil à part que la fin c'est : -$\infty$ $\times$ 0 = 0 voilà ce que j'ai fait mais je n'ai pas trouvé l'interprétation graphique qu'on peut en déduire.

evariste_G
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par evariste_G »

Ton raisonnement n'est pas correct. Factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis regarde ce que cela donne ...

PS : la forme $\infty \times 0$ est dite indéterminée (au même titre que $\frac{\infty}{\infty}$ qui est d'ailleurs équivalente à la première).
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Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

Je vois pas comment factoriser, c'est de la forme ${a}^{2}$ - ${b}^{2}$ au numérateur et au dénominateur mais c'est le 3 qui pose problème, bref je patauge là...

evariste_G
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par evariste_G »

Petit indice : $$ x^n + 1 = x^n \left(1+\dfrac{1}{x^n} \right)$$

NB : je n'ai pas dit de factoriser, mais de factoriser par le terme de plus haut degré ...
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Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

$$ x^n - 3 = x^n \left(1-\dfrac{3}{x^n} \right)$$, pour le numérateur ?

evariste_G
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par evariste_G »

oui, mais bien sûr, $n$ n'est pas mis au hasard ... Que vaut-il dans ton expression ? ... Et que donne ton expression une fois que tu as factorisé en haut et en bas ?
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Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

n c'est $^{2}$ et cela donne : $$x^2 \left(1-\dfrac{3}{x^2} \right)$$ $$x^2 \left(1-\dfrac{1}{x^2} \right)$$

evariste_G
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par evariste_G »

maintenant, tu peux trouver la limite ...
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Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

1- (+$\infty$), ça fait -$\infty$ $\times$ +$\infty$ = - $\infty$ pour le numérateur c'est ça ?

evariste_G
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par evariste_G »

Pourquoi avons nous factorisé ? Dans l'expression : $$\dfrac{x^2^\left( 1 - \dfrac{3}{x^2^} \right)}{x^2^\left(1-\dfrac{1}{x^2^} \right)} $$

que peut-on faire pour la rendre plus "simple" ? Que reste-t-il après simplification ? Quelle est la limite de ce qu'il reste ? Quelle conclusion peut-on alors faire ?
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Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

On élimine ${x}^{2}$, il reste $$^\left( 1 - \dfrac{3}{x^2^} \right)} / \left(1-\dfrac{1}{x^2^} \right)} $$, ça fait -$\infty$ / 1 et on peut dire que lorsque x = +$\infty$, la courbe est en dessous de l'axe des abscisses ?

evariste_G
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par evariste_G »

Non ... $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$ , même au numérateur ...
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Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

D'accord, donc ça ne fait pas 1 pour le dénominateur ?

evariste_G
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Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par evariste_G »

Pour le dénominateur si, mais au numérateur, tu n'as pas un infini ...
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Mystic

Re: [1ère] Des asymptotes multiples

Message par Mystic »

Ca fait 1 aussi ?! Mais 3/+infini=+infini non ? Et quelle interprétation graphique peut-on faire ?