[TS][Spé] Divisibilité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

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stephanie
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[TS][Spé] Divisibilité

Message par stephanie »

Bnjour à tout(e)s,
pourriez-vous me dire si mes deux raisonnements sont corrects, je vous en remercie :
Enoncé 1 :
$M$ et $N$ sont deux entiers naturels tels que $M$ a pour écriture $abc$ en base 10 et N a pour écriture $bca$ en base 10. Dire si la proposition suivante est vraie ou fausse : Si l'entier M est divisible par 27alors l'entier $M-N$ est aussi divisible par 27.
Réponse :
$M$ a pour écriture $abc$ en base 10 donc $M=a.10^2+b.10^1+c.10^0$. $M$ est divisible par 27 donc $M \equiv 0 (27) \Leftrightarrow a.10^2+b.10^1+c.10^0 \equiv 0(27)$ ce qui impose que $a.10^2\equiv 0(27)$ et $b.10^1\equiv 0(27)$ et $c.10^0\equiv 0(27)$ or 27 ne divise ni $10^2$, ni $10^1$, ni $10^0$, par conséquent, on a nécessairement $a\equiv 0(27)$ et $b\equiv 0(27)$ et $c\equiv 0(27)$. De là, comme $N=bca$ on en déduit que $N\equiv 0(27)$ et donc $M-N\equiv 0(27)$ et $M-N$ est aussi divisible par 27. Voila est-ce correct ?

Enoncé 2 :
Vrai ou Faux : Si un entier relatif $x$ est solution de l'équation $x^2+x\equiv 0(6)$ alors $x\equiv 0(3)$.
Réponse :
$x^2+x\equiv 0(6) \Leftrightarrow x(x+1)\equiv 0(6)$ ce qui implique que $x\equiv 0(6)$ ou $x+1\equiv 0(6)$ soit encore $x\equiv 0(3)$ (car 6 est un multiple de 3, donc si 6 divise un nombre 3 le divise aussi non ?) ou $x\equiv 5(6)$.
Mais donc $x^2+x\equiv 0(6)$ n'implique pas forcément $x\equiv 0(3)$ (puisque on peut aussi avoir $x\equiv 5(6)$) donc la proposition est fausse.

Je vous remercie et j'attend avec impatience vos remarques :P

evariste_G
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Re: [TS][Spé] Divisibilité

Message par evariste_G »

Ouille ....

Pour le premier exercice, 3 est bien congru à 0 modulo 3. Or, 3 = 1 + 2, mais ce n'est pas pour autant que 1 et 2 sont congrus à 0 modulo 3 ... Si une somme est divisible par 27, ça ne veut pas dire que tous les termes le sont.

Enoncé 2 : tu dis que si un produit est divisible par 6, alors l'un des facteurs est divisible par 6 ... ce qui est faux. Exemple : 2x3 ...
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stephanie
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Re: [TS][Spé] Divisibilité

Message par stephanie »

Merci pour votre réponse,
en fait je pensait appliquer la propriété : "Si c divise a et c divise b alors c divise a-b" mais c'est une implication alors elle ne marche que dans un sens c'est bien ca ? en fait ce n'est pas parcequ'on a "c divise a-b que c divise a et c divise b". Ai-je bien compris ? :mrgreen:
Pour l'exo 2 : et bien je pensais que par exemple si on a : 6 divise 12. Comme 6=2*3 on a aussi 2 et 3 qui divise 12. Mais en fait ca fonctionne quand le nombre divisé est strictement supérieur au diviseur ?
Merci beaucoup.

evariste_G
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Re: [TS][Spé] Divisibilité

Message par evariste_G »

stephanie a écrit :Merci pour votre réponse,
en fait je pensait appliquer la propriété : "Si c divise a et c divise b alors c divise a-b" mais c'est une implication alors elle ne marche que dans un sens c'est bien ca ? en fait ce n'est pas parcequ'on a "c divise a-b que c divise a et c divise b". Ai-je bien compris ? :mrgreen:
Effectivement, il n'y a pas réciprocité.
stephanie a écrit :Pour l'exo 2 : et bien je pensais que par exemple si on a : 6 divise 12. Comme 6=2*3 on a aussi 2 et 3 qui divise 12. Mais en fait ca fonctionne quand le nombre divisé est strictement supérieur au diviseur ?
Merci beaucoup.
En arithmétique, le nombre divisé est toujours supérieur au diviseur ...

Ce que je voulais dire, c'est que si $xy \equiv 0 [k]$, cela ne veut pas dire que $x \equiv 0 [k]$. Il faut une condition ... (regarde ton cours ... $k$ doit etre premier ... ce qui n'est pas le cas :lol: ici)

EDIT : une piste pour le premier ... Si un nombre est divisible par 27, alors il l'est par "3" 3 fois (car $27=3^3$) et on connait un critère de divisibilité par 3 non ?
Dernière modification par evariste_G le vendredi 24 avril 2009, 17:45, modifié 1 fois.
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stephanie
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Re: [TS][Spé] Divisibilité

Message par stephanie »

ah oui c'est exact !!
Pour la 2 c'est la réciproque du théorème de Gauss :mrgreen:
Je vous remercie.