Questions diverses relatives au programme dans son ensemble

[M@rion]

bonjour,

j'ai deux ou trois questions que je regroupe ici pour ne pas multiplier les posts inutilement
sixième :
Q1 : évoque-t-on les propriétés des diagonales du rectangle et du losange dès la 6ème ?
Q2 : pour les critères de divisibilité on s'arrête à 9 ?
Q3 : symétrie orthogonale et axiale, dans quel cas emploie-t-on plutôt telle expression que telle autre ?
Q4 : comment démontrer la validité d'un produit en croix ?
cinquième :
Q1 : centres cercles circonscrit et inscrits au et dans le triangle, comment démontre-t-on qu'il s'agit respectivement du centre des trois médiatrices, et du centre des trois bissectrices (là je déborde un peu sur le prog. de 4ème), j'ai déjà posé une question afférente il me semble, si c'est le cas j'en suis désolée
Q2 : nombres relatifs, on en a déjà parlé aussi, mais la question est plus spécifique que concernant la règle des signes
comment aider l'élève à se représenter un nombre négatif sans passer par la notion de "perte" ? (si je radote encore mea culpa)
quatrième :
Q1 : la proportionnalité multiple est-elle considérée comme une "situation de non-proportionnalité" ?
Q2 : comment prouve-t-on que la somme des angles d'un quadrilatère équivaut à 360° ?

c'est tout pour l'instant, si vous ne répondez pas à toutes les questions, je ne me vexerai pas

merci beaucoup

[guiguiche]

Q2 : pour les critères de divisibilité on s'arrête à 9 ?

Tu comptes donc évoquer le critère de divisibilité par 7 en sixième ...
De ce pas, je

[M@rion]

je pensais à 11

[rebouxo]

Q1 : ça veut dire quoi évoquer. Oui, on met en évidence les propriétés, puisque la symétrie axiale est présente. Après...
Q2 : C'est au programme, c'est une bonne chose ? Si on fait celui de 9, il faut faire celui de 11.
Q3 : Quand on sait qu'il y a des symétries axiales non orthogonales.
Q4 : en montrant qu'un nombre et la somme de ces chiffres ont le même reste par la division par 9. C'est pas très dur si on maîtrise bien les écritures symboliques. Mais on doit pouvoir faire sans (cela ne doit pas être très réjouissant). En tous les cas c'est pas du niveau collège.
Q5 : Pour les médiatrices c'est pas trop compliqué. Soit $D_1$, $D_2$ et $D_3$ les médiatrices du triangles $ABC$ ($D_1$, celle de $(AB)$, $D_2$ celle de $(BC)$ etc.). $D_2$ et $D_2$ se coupent en $O$. On a $OA = OB$ car $O$ est sur $D_1$. Et $OB = OC$ car $O$ est sur $D_2$. Donc, $OA = OC$, donc $O$ est sur $D_3$. Conclusion, $O$ est équidistant des trois sommets, c'est le centre du cercle circonscrit !
Je ne me rappelle plus pour les bissectrices. En général, en seconde mes élèves y ont droit et cela me permet de classer les élèves : ceux qui auront une chance de réussir en 1ereS et les autres. Alors au collège. Assez curieusement, les élèves ne trouvent pas étonnant que trois droites soient concourantes...
Q6 : les nombres relatifs. Je pense, au contraire, que les pertes sont un obstacles à la compréhension des nombres relatifs. Tu ne pourras jamais expliquer la règle du produit de 2 négatifs, à l'aide des pertes. Ici, c'est un bel exemple d'obstacle épistémologique de Bachelard (Cas n°2, les images).
Il me semble que pour bien mettre en évidence la règle des signes, il faut passer par le développement d'une expression : $(1-1)(1-1)$ par exemple. Si l'on veut que cela fasse zéro une fois développer, il faut que le produit de deux négatifs soient positifs. Mais convaincras-tu quelqu'un avec cela, j'en doute.
Q7 : non, je rangerais cela dans la proportionnalité, comme les problèmes avec les inverses d'ailleurs. Je ne restreindrais pas la proportionnalité, à la linéarité... Mais cela dépend de ce que l'on appelle proportionnalité ! Proportionnalité inverse, c'est presque une oxymore, si on cherche bien.
Q8 : tu découpe ton quadrilatère en deux triangles. Dans chaque triangle la somme des angles vaut 180, comme il y en a deux, ben ça fait 360. Bon maintenant, il reste à montrer que la somme des angles d'un triangles vaut 180°. Comment tu fais ?

Olivier

[M@rion]

avec les angles supplémentaires à chaque angle du triangle, par calcul des différences, et somme des différences entre elles, que l'on soustrait à 180 x 3

il doit y avoir plus simple j'imagine

[rebouxo]

Avec un petit dessin c'est plus clair !

La droite $FG$ est parallèle à $(AB)$ passant par $C$. Les angles de même couleur sont égaux. Pof, la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°.

Olivier

[Arnaud]

A condition d'avoir vu les angles correspondants avant.

[François D.]

Mes deux centimes du jour, sous forme de compléments et/ou de nuances d'interprétations ...

6ème

Q1 : rien à ajouter ;)

Q2 : je reformulerais la question, en disant que les critères de divisibilté à voir en 6ème sont ceux par 2 et 5 (donc par 10, basés sur le(s) dernier(s) chiffre(s) du nombre) et 3 et 9 (techniquement le même, basé sur la somme des chiffres).

Q3 : notons qu'au collège je ne pense pas que les élèves rencontreront une symétrie axiale non orthogonale ... d'ailleurs, au lycée ça doit être rare aussi .


5ème

Q1 : pour le centre du cercle inscrit, même démonstration que pour celui du cercle circonscrit, étant entendu que la (qu'une) bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des côtés de cet angle.

Q2 : dur ... il y a bien l'exemple des températures négatives, ou éventuellement des altitudes négatives (i.e. sous le niveau de la mer), mais cela ne va probablement pas aider à comprendre la règle des signes.
Peut-être est-ce un cas, d'ailleurs pas si tardif que ça, où il faut simplement énoncer la règle et la faire appliquer, sans essayer d'en justifier le bien-fondé ; on peut éventuellement dire aux élèves que les raisons qui justifient cette règle existent bel et bien mais sont hors de leur portée pour le moment (elles seront exposées plus tard si besoin).
Au collège, on doit certes commencer à assurer la transition entre un fonctionnement où l'enseignant apporte des connaissances/règles « toutes faites prêtes à l'emploi » (comme les tables de multiplication ou même d'addition) et un fonctionnement où l'enseignant apporte des connaissances « construites et justifiées », mais parfois il faut se résigner à ce que certains points ne puissent pas encore être justifiés de manière convaincante. Je crois que c'est mieux que de fournir des justifications bancales dont personne n'est dupe, pas même les élèves.

Q3 et Q4 : je passe .

[M@rion]

Au collège, on doit certes commencer à assurer la transition entre un fonctionnement où l'enseignant apporte des connaissances/règles « toutes faites prêtes à l'emploi » (comme les tables de multiplication ou même d'addition) et un fonctionnement où l'enseignant apporte des connaissances « construites et justifiées », mais parfois il faut se résigner à ce que certains points ne puissent pas encore être justifiés de manière convaincante. Je crois que c'est mieux que de fournir des justifications bancales dont personne n'est dupe, pas même les élèves.

c'est ça qui est gênant, des fois les élèves ne peuvent pas comprendre pourquoi ils ne comprennent pas (je parle en connaissance de cause, de souvenirs assez lointains)

pour la démonstration de la somme des trois angles 180° angles opposés par le sommet et correspondants, d'accord

pour les nombres négatifs, est-ce que cela fonctionne si on imagine un déplacement du zéro sur une droite graduée ?

pour le reste, il faut que je vous relise en détails, et je vais encore vous solliciter avec une ou deux questions sur le prog. de 3ème

merci à tous pour vos réponses, cela m'aide beaucoup sincèrement

[rebouxo]

Q3 : notons qu'au collège je ne pense pas que les élèves rencontreront une symétrie axiale non orthogonale ... d'ailleurs, au lycée ça doit être rare aussi .

Le déplacement sur une règle, ne permettra pas de prouver la règle des signes dans le cas moins par moins. Et fera probablement obstacle à la compréhension de cette règle. Je plussoie au discours de François. Parfois, il faut faire et la croyance vient après (tiens pour Pascal dans s... Je m'égare :D ).
C'est clair : pour comprendre que l'on ne peut pas choisir autre comme règle des signes, il faut bien posséder la distributivité et avoir compris que celle-ci est absolument indispensable. Comme ce n'est pas le cas en 6e (et parfois pas le cas au collège voir au lycée), on ne peut pas comprendre la règle des signes (comprendre ici, savoir pourquoi on doit absolument prendre cette règle et pas une autre). La compréhension du pourquoi et du comment n'est parfois pas possible avec des programmes qui essayent de donner des connaissances utiles. Or, il est bien clair que les nombres relatifs sont des nombres utiles. On est dans une contradiction qu'il faut savoir géré. Je te rassure, peu d'élèves posent ce problème. Peut-être n'osent-ils pas d'ailleurs. Donc, c'est comme cela, il y a une raison, que tu pourras comprendre plus tard. Éventuellement, donner la raison, si l'élève insiste.

Olivier

[François D.]

Je me fais un plaisir d'abonder dans le sens d'Olivier, qui dit abonder dans le mien ...

L'idée qu'il faut tout justifier est l'exemple même de ces bonnes volontés dont le chemin de l'enfer est, pour reprendre la formule, pavé ;) : outre que ça ne gêne que rarement des élèves de 5ème qu'on leur donne des règles sans leur dire d'où elles viennent, il est encore fréquent à leur niveau que ce soit tout simplement impossible de procéder autrement qu'en disant : « C'est ainsi. Même s'il y a des raisons à cela, elles sont trop compliquées pour vous, pour l'instant en tous cas, elles ne vous aideraient donc (probablement) pas si je vous les donnais. » Rien n'empêche après de les donner tout de même, peut-être juste oralement, à ceux qui insistent vraiment, juste pour leur confirmer qu'on maîtrise son sujet .

Une analogie qui vaut ce qu'elle vaut : personne ne s'offusque d'apprendre à manier une voiture (passer les vitesses, faire des manoeuvres, etc.) sans savoir préciséement ce qui se passe dans le moteur ; on accepte que la façon même dont est bâtie une voiture impose certaines choses, sans avoir besoin de connaître l'enchaînement détaillé des raisons mécaniques qui font que ...

[M@rion]

c'est vrai que si on pouvait avoir dès le collège l'état d'esprit que l'on a à partir du moment où l'on fait des recherches à l'université, que l'on commence à travailleur de façon plus autonome, à aller chercher l'information, cela serait plus simple, et pour les professeurs, et pour les élèves, car la curiosité est alors un véritable moteur pour avancer

je pense comprendre ce que vous voulez dire, et après réflexion, cela me paraît évident d'ailleurs : dire à l'élève qu'il y a une explication peut-être un peu trop complexe à son niveau, et éventuellement la lui donner, c'est une bonne compensation psychologique je pense (et parfois il ne faut pas aller chercher si loin qu'un obstacle épistémologique pour expliquer un échec)

bon trève de bavardage, je retourne à mes moutons

[M@rion]

alors j'ai terminé (enfin "je me comprends" )

- petite question d'abord concernant la preuve de la validité du produit en croix : c'est une partie de la démonstration de la preuve par 9 non ?
- ensuite je ne comprends pas la démonstration pour les médiatrices, en quoi le fait que O soit sur D1 prouve que OA = OB ?
- pour les bissectrices, il faudrait que je réfléchisse un petit peu (je déteste ne pas trouver quelque chose, cela va me perturber mais ne me donnez pas la solution s'il vous plait)
- la symétrie axiale et non orthogonale, pouvez-vous me donner un exemple à ma portée s'il vous plait ?

en ce qui concerne le programme de troisième :
- je n'ai pas très bien compris comment on s'y prend pour trouver le centre d'un cercle à l'aide d'une équerre
- à quoi sert l'orthocentre dans les différentes applications possibles ?
- le volume et l'aire de la sphère, d'où vient le 4 ? (j'avais posé une question sur pi)

voilà merci encore par anticipation et rétroactivement

[François D.]

Ouffff ;)

Pour l'histoire des médiatrices : on explique dès la 6ème (ça peut en être la définition, mais en général c'est plutôt vu comme une propriété, la définition étant « la perpendiculaire à un segment passant par son milieu ») que la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémtiés de ce segment ; or, les trois côtés d'un triangle sont bel et bien des segments ...

Symétrie axiale non orthogonale : mieux vaut tout simplement construire quelques images de points. On se donne donc une droite $\Delta$, l'axe de la symétrie, et un autre droite $d$ non parallèle à $\Delta$.
Pour tout point $M$ du plan, son image par la symétrie axiale d'axe $\Delta$ dirigée par $d$ est le point $M'$ tel que $(MM')$ soit parallèle à $d$ et, si on note $I$ le point d'intersection de $(MM')$ et $\Delta$, $I$ soit le milieu de $[MM']$.

Le centre d'un cercle à l'aide d'une équerre ? C'est une conséquence du théorème qui donne la position du centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle : le point en question est aussi le milieu de l'hypoténuse du triange rectangle. Je te laisse alors deviner la méthode de construction.

Le 4 du volume la sphère ? Il vient de loin ;) ... En fait, il « tombe » automatiquement quand on applique à la sphère les formules d'intégration (dans l'espace) qui permettent, lorsque la situation est calculatoirement assez simple (pour la sphère, elle l'est), de déterminer le volume d'un solide ; ensuite, je rappelle que la formule de l'aire extérieure de la sphère est obtenue en dérivant la formule de son volume par rapport au rayon (idem pour la longueur du cercle, qui est la dérivée de l'aire du disque par rapport au rayon).

[rebouxo]

alors j'ai terminé (enfin "je me comprends" )

- petite question d'abord concernant la preuve de la validité du produit en croix : c'est une partie de la démonstration de la preuve par 9 non ?

Oui. En fait, si je me souviens bien la preuve par neuf est une présentation des calculs des restes de la division par 9.

- ensuite je ne comprends pas la démonstration pour les médiatrices, en quoi le fait que O soit sur D1 prouve que OA = OB ?

Un point $O$ sur la médiatrice de $[AB]$ vérifie $OA = OB$, et réciproquement. Un petit dessin suffit pour se convaincre.

- pour les bissectrices, il faudrait que je réfléchisse un petit peu (je déteste ne pas trouver quelque chose, cela va me perturber mais ne me donnez pas la solution s'il vous plait)

A priori, c'est la même idée que pour les médiatrices. On prend un point sur deux bissectrices et on montre qu'il appartient à la troisième.

- la symétrie axiale et non orthogonale, pouvez-vous me donner un exemple à ma portée s'il vous plait ?

Voir la figure. La symétrie par rapport à la droite $a$ suivant la direction de la droite $b$ (parallèle à la droite $b$). On prend un point $E$, on trace la parallèle à $b$ passant par $E$, elle coupe à en $F$. ON reporte la distance $EF$ de l'autre côté par rapport à la droite $a$. Et voilà, $G$ est le symétrique de $E$ par rapport à la droite $a$ suivant la direction de $b$.

en ce qui concerne le programme de troisième :
- je n'ai pas très bien compris comment on s'y prend pour trouver le centre d'un cercle à l'aide d'une équerre
- à quoi sert l'orthocentre dans les différentes applications possibles ?
- le volume et l'aire de la sphère, d'où vient le 4 ? (j'avais posé une question sur pi)

voilà merci encore par anticipation et rétroactivement

Grillé par François

Olivier

[M@rion]

merci beaucoup
pour la médiatrice, j'ai lu trop vite, maintenant, c'est plus clair, et pour l'équerre aussi

alors pour les bissectrices, je crois avoir trouvé quelque chose

soit un triangle ABC, et M, N, et O les points d'intersection des bissectrices avec les côtés opposés [AC], [AB], et [BC]
le point O est sur la droite (AO) qui est la bissectrice de l'angle A, donc OM = ON, puisque les points M et N sont respectivement placés à l'intersection du cercle et des côtés [AC] et [AB](les côtés sont tangents), et donc équidistants de O, le centre du cercle, et le point d'intersection des bissectrices
de proche en proche, on fait la même démonstration pour les autres angles
puis on prouve ainsi, en rappelant la définition d'un cercle inscrit dans un triangle, soit dont le centre se situe à égale distance des trois côtés respectifs du triangle, que cela répond bien au critères

c'est quelque chose dans ce genre là où je suis à côté ?

bon je viens de voir qu'il y a un autre msg. mais je ne l'ai pas encore lu, donc si je dis des âneries hors-sujet ne m'en voulez pas

(ça y est je l'ai lu, bon j'étais à côté, j'aurai encore une question à vous poser sur la symétrie axiale non orthogonale)

merci beaucoup

[M@rion]

je crois que j'ai compris le principe de la symétrie axiale non orthogonale, petit détail qui m'échappe en revanche, que représentent les points tracés sur la droite b ? qu'est ce que cela donne avec plusieurs points ?

merci

[rebouxo]

Ils ne servent à rien, juste à construire la droite.

Olivier

[M@rion]

d'accord, mais j'ai du mal à me représenter la transformation sur plusieurs points, c'est quoi la différence avec une translation ?

merci

[François D.]

La différence avec une translation ? Énorme ...

D'une part toute symétrie axiale (orthogonale ou non) change l'orientation d'une figure : si, dans un triangle, on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre pour faire $A \rightarrow B \rightarrow C$, on tournera dans le sens inverse sur son image $A'B'C'$.
D'autre part : une symétrie axiale non orthogonale n'est pas une isométrie, c'est-à-dire qu'en général (avec des notations évidentes) on a $M'N' \neq MN$ en distance.

Si tu maîtrises assez un logiciel de géométrie dynamique comme GeoGebra, tu peux te faire des figures, les animer, etc. : tu verras mieux comment agissent les différentes transformations qui t'intéressent.

Enfin, pour ce qui est des bissectrices, au niveau rédaction je propose ce qui suit.
Dans un triangle $ABC$, soit $d_1$ la bissectrice (intérieure) de l'angle $\widehat{CAB}$ et $d_2$ celle de $\widehat{ABC}$ ; on note $I$ le point d'intersection de $d_1$ et $d_2$.
$R$, $S$ et $T$ sont les projetés orthogonaux respectifs de $I$ sur $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$.
Comme $I$ est un point de $d_1$, on a $IR=IT$.
Comme $I$ est un point de $d_2$, on a $IT=IS$.
Il en découle que $IR=IS$, c'est-à-dire que $I$ est un point de la bissectrie $d_3$ de l'angle $\widehat{ACB}$.