Questions diverses relatives au programme dans son ensemble

[M@rion]

qu'est ce qui est conservé alors si c'est une symétrie mais pas une isométrie ? (je vais chercher des figures en attendant pour avoir une idée plus précise)
pour la démonstration, je peux l'employer pour le collège ?

merci

[François D.]

Je suppose que tu parles de la démonstration pour les bissectrices ... Alors la réponse est : en principe oui.
Cela dit, il faut bien, en particulier au collège, avoir en tête qu'elle ne va probablement être bénéfique qu'à une minorité d'élèves : ceux qui ont compris qu'une justification est théoriquement impérative et qui sont capables de la comprendre ; les autres se satisfont de la parole du prof, par paresse intellectuelle, manque de maturité, ou même parce qu'ils ne se rendent pas compte que le fait que trois droites soient toujours concourantes est en soi remarquable.
Remarque en passant : c'est un des cas où une figure animée avec un logiciel de géométrie dynamique peut s'avérer intéressant : ça peut aider à convaincre les élèves que le fait que les médiatrices, bissectrices, etc., d'un triangle continuent à se rejoindre même quand on déforme sauvagement le triangle en question est un phénomène qui mérite qu'on s'y attarde.

Quant à une symétrie axiale non orthogonale, qui n'est donc même plus une isométrie, que conserve-t-elle ? Voilà une question fondamentale, qu'on peut/doit se poser pour chaque transformation, en fait ;) .
À première vue (il faudrait se pencher plus en détail là-dessus), elle a déjà comme « qualité » d'être une bijection : chaque point a un point image et un seul ; à ce compte, un triangle a pour image un autre triangle (mais pas forcément semblable), un quadrilatère a pour image un quadrilatère, etc.

Pour mieux saisir l'intérêt de cette propriété, penser à une projection : quand on projette un point sur une droite (perpendiculairement ou non), on obtient un point image ; inversement, cet unique point image peut en revanche avoir été obtenu à partir d'une (vaste) famille de points ... Le projeté d'un triangle est un triplet de points alignés ...

[M@rion]

merci beaucoup

c'est très intéressant, cela doit avoir tout un tas d'applications en physique non ?
rassurez-moi on est bien sorti du cadre de la géométrie plane ?

[François D.]

Ah non ... La géométrie plane, c'est la géométrie du plan (« plate »), c'est-à-dire à deux dimensions.

En revanche, j'ai du mal à te donner des applications concrètes, en physique ou ailleurs : nous autres mathématiciens un peu puristes, cela n'est plus vraiment notre problème ...

[M@rion]

je ne trouve pas non plus

cette symétrie axiale non orthogonale c'est un peu l'équivalent du "concerto pour la main gauche" pour mes neurones mathématiquement limités, donc je m'arrête là pour l'instant

merci beaucoup en tous cas

[François D.]

Pour élargir un encore peu la réflexion, allons jusqu'à la notion d'affinité ;-) ...

Une affinité par rapport à une droite $\Delta$, dirigée par une droite $d$ non parallèle à $\Delta$ et de rapport $k \in \R$ est une tranformation du plan qui à tout point $M$ du plan associe le point $M'$ tel que, en notant $H$ le projeté de $M$ sur $\Delta$ parallèlement à $d$, on ait $\overrightarrow{HM'}=k \cdot \overrightarrow{HM}$.

Lorsque $k \neq 0$, une affinité est une bijection du plan. Pour $k=1$, c'est évidemment l'identité du plan ; pour $k=-1$, c'est la symétrie par rapport à $\Delta$ parallèlement à $d$.

Le cas $k=0$ « réduit » l'affinité à la projection sur $\Delta$ parallèlement à $d$ ; dans ce cas, ce n'est plus une bijection.

Si $d$ est perpendiculaire à $\Delta$, l'affinité est orthogonale.

À titre d'exemple, l'image d'un cercle par une affinité orthogonale, de rapport $k$ avec $k \in \R \setminus \{-1 ; 0 ; 1 \}$, par rapport à un diamètre de ce cercle, est une ellipse.

Dernier point : cette sympathique transformation a déserté les programmes du secondaire depuis belle (moche ?) lurette ...

[M@rion]

cela me servira peut-être plus tard, merci bien

[Tonn83]

Bonjour,

Retour sur la règle des signes

Je poserai le problème autrement. Si vous n'arrivez pas à justifier la règle des signes $(-1)\times (-1)=1$ aux élèves, c'est donc qu'ils n'ont aucun besoin de savoir multiplier deux nombres strictement négatifs. La justification repose moins sur la distributivité que sur la manipulation des aires algébriques en géométrie plane.

Petite question : comment définissez vous au college le produit de deux nombres réels positifs ? :D

[M@rion]

bonjour,

Bonjour,

Retour sur la règle des signes

Je poserai le problème autrement. Si vous n'arrivez pas à justifier la règle des signes $(-1)\times (-1)=1$ aux élèves, c'est donc qu'ils n'ont aucun besoin de savoir multiplier deux nombres strictement négatifs.

comment cela ?

La justification repose moins sur la distributivité que sur la manipulation des aires algébriques en géométrie plane.

Petite question : comment définissez vous au college le produit de deux nombres réels positifs ? :D

pourriez-vous m'expliquer un peu svp ?

[Tonn83]

comment cela ?

Ils comprennent facilement pourquoi on cherche à multiplier un nombre positif et un nombre négatif. Mais en dehors des exercices de mathématiques, ils n'ont pas l'occasion de rencontrer le produit de deux nombres négatifs. En l'absence d'un exemple pertinent, ils considèrent (et pour de très bonnes raisons) le produit $(-1)\times (-1)=1$ comme une règle purement formelle imposée par le prof.

La justification repose moins sur la distributivité que sur la manipulation des aires algébriques en géométrie plane.

Petite question : comment définissez vous au college le produit de deux nombres réels positifs ? :D

pourriez-vous m'expliquer un peu svp ?

Plus haut, la règle $(-1)\times (-1)=1$ a été "justifiée" parce qu'on cherche à imposer la distributivité au produit. Mais la véritable question reste posée : Pourquoi cherche-t-on à étendre le produit aux réels négatifs ? Pourquoi cherche-t-on à rendre le produit distributif ? Si ces questions trouvent leurs réponses, la distributivité imposera $(-1)\times (-1)=1$, comme expliqué plus haut.

[plop08]

(juste en passant avec un voltmètre mal branché $U=-3$ V et un ampèremètre mal branché $I=-.5$ A , on lirait tout de même une puissance $P=+1,5$ W et nous voilà sorti du monde des mathématiques)

[Arnaud]

Plus simple :

"Ce n'est pas impossible." est équivalent à ...

N'importe quel élève de 5e comprend ça.

[M@rion]

merci beaucoup

pour la double négation c'est vrai c'est très parlant mais comment justifier cette transposition un peu analogique ?

[Arnaud]

Justifier ?
C'est un moyen mémotechnique pour se rappeler et comprendre la règle, sachant que c'est le premier objectif à atteindre.

Si tu tiens à justifier la règle des signes, cela se fait proprement par l'algèbre.

[François D.]

Pour ce qui est de produit des nombres relatifs, je pense qu'on peut aussi s'en sortir en disant, ce qui n'est d'ailleurs pas totalement faux bien qu'assez évasif, un truc du genre :

Les mathématiciens à travers les âges ont toujours voulu être en mesure de calculer, avec tous les types de nombres qu'ils connaissent, mais sans « casser » ce qu'ils avaient avant [ce qu'entre nous nous appelerions le principe de prolongement].
Ils se sont alors rendus compte que pour ce qui est des nombres relatis, mais pour des raisons qu'en 5ème on ne peut pas expliquer, il faut pour que ça marche bien mettre en place la règle des signes telle que je vais vous la donner.
Cette règle, vous ne pouvez effectivement pas comprendre pourquoi elle est comme elle est, mais vous êtes parfaitement capable de l'appliquer.

Je suis persuadé que cet habillage pseudo-historique peut suffire : il y a des raisons à ces règles mais elles sont trop compliquées pour l'instant (on les verra peut-être plus tard), pas de souci des savants des temps anciens se sont penchés sur le problème .

Euh ... maintenant que j'y repense : si ça se trouve, j'ai déjà tenu ce type de discours plus tôt dans ce même fil de discussion ... :? le cas échéant : désolé .

[M@rion]

Merci pour vos réponses, que je viens à peine de découvrir

@ Arnaud : cela doit être un bon moyen mnémotechnique

@ François D. :
oui on en a déjà un peu parlé, mais ce problème mérite d'être un peu creusé de toutes façons, et c'est toujours intéressant.

[rebouxo]

(juste en passant avec un voltmètre mal branché $U=-3$ V et un ampèremètre mal branché $I=-.5$ A , on lirait tout de même une puissance $P=+1,5$ W et nous voilà sorti du monde des mathématiques)

Ça c'est intéressant. Je le retiens.

Olivier

[plop08]

attends un peu tout de même : je vais le faire avec mes CAP d'ici un mois ou deux et j'aurai le TP en main donc là je te confirmerai tout ça .

[M@rion]

on attend des nouvelles bientôt alors

[rebouxo]

attends un peu tout de même : je vais le faire avec mes CAP d'ici un mois ou deux et j'aurai le TP en main donc là je te confirmerai tout ça .

Je le note pour deux choses, c'est la première fois que je vois un PLP se servir de la physique pour justifier des maths, dans une vraie perspective de complémentarité. Je ne dis pas que c'est simple, mais j'ai l'impression que la bivalence des plp est très théorique. En pratique je ne l'ai pas beaucoup vu pas beaucoup.

Olivier