Série

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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jeje56
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Série

Message par jeje56 »

Bonjour,

$\large\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^s}=1/(s-1)$

Je ne vois pas comment montrer que $\large\zeta(s)=\sum_{n\ge 1}^{}\frac{1}{n^s}$ est équivalent en s=1 à 1/(s-1)...

J'ai montré $\zeta(s)$ strictement décroissante et que l'intégrale et la somme ont même nature...

Merci bcp de votre aide !

OG
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Re: Série

Message par OG »

Bonjour

As-tu essayé un encadrement série/intégrale ?
Pour l'intégrale on peut toujours minorer/majorer sur
chaque intervalle $[n,n+1]$ par ce qu'il faut car on sait que
la fonction $1/x^s$ est décroissante sur $]0,+\infty[$.
Ceci ne te rappelle rien ?

O.G.

jeje56
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Re: Série

Message par jeje56 »

J'ai montré :

$1/(s-1)\le \sum_{k=1}^{\infty}1/k^s$

Je ne vois vraiment pas comment en déduire l'équivalent en 1 de $\zeta(s)$...

Merci bcp !

OG
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Re: Série

Message par OG »

il y a une inégalité dans l'autre sens avec un terme en plus (constant)
O.G.

jeje56
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Re: Série

Message par jeje56 »

En effet, j'ai :
$\sum_{k=1}^{\infty}(1/k^s)-1\le 1/(s-1)\le \sum_{k=1}^{\infty}1/k^s$

jeje56
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Re: Série

Message par jeje56 »

Mais trjs flou...

OG
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Re: Série

Message par OG »

jeje56 a écrit :En effet, j'ai :
$\sum_{k=1}^{\infty}(1/k^s)-1\le 1/(s-1)\le \sum_{k=1}^{\infty}1/k^s$
c'est terminé, les deux quantités tendent vers l'infini et leur rapport vers 1,
n'est-ce pas équivalent à dire qu'elles sont équivalentes ?

O.G.

jeje56
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Re: Série

Message par jeje56 »

Mais pourquoi équivalentes en s=1 ?... J'ai du mal à voir...

kojak
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Re: Série

Message par kojak »

bonjour,

Ca veut dire quoi que $f\sim g$ :?:
Pas d'aide par MP.

mathématicien
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Re: Série

Message par mathématicien »

Série de Riemann non