Conjecture en arithmétique

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PaulEl
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Conjecture en arithmétique

Message par PaulEl »

Le titre du sujet est faux car en réalité je n'ai pas de conjecture...

Voila mon problème :
Considérons tout d'abord les nombres 2, 5 et 13.
On a :

$2*5-1=9$ carré parfait
$2*13-1=25$ carré parfait
$5*13-1=64$ carré parfait

La question est :
Existe-t-il un quatrième nombre, compatible avec les 3 précédents, c'est à dire

$n_{4} \in \N$
$2*n_{4}-1=(a_{1})^{2}$
$5*n_{4}-1=(a_{2})^{2}$
$13*n_{4}-1=(a_{3})^{2}$

Après quelques essais maple, voila mes conclusions :

-S'il y en a un, il est très, très grand
-Il en existe pas mal qui ne vérifient la propriété qu'avec 2 des trois premiers nombres (2 5 et 13) mais la suite de ces nombres grandit très très vite.

Mathématiquement parlant, je n'ai absolument rien réussi à faire.

Je n'ai donc aucune idée même du résultat possible.
Connaissez-vous ce problème ? Ou avez vous des idées ?
Merci en tout cas de votre lecture voire de votre participation ! Bonne chance pour m'aider ^^

Paul-Elliot

PS : ce problème m'as été donné par le père d'un copain. Je lui ais envoyé un mail pour lui demander d'où il le tient. Je poste dès que j'ai sa réponse.

PaulEl
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Re: Conjectureen arithmétique

Message par PaulEl »

On suppose donc qu'il existe $t$ tel que $2t-1=a^2$,
$5t-1=b^2$ et $13t-1=c^2$, d'où

$$\begin{align}
2b^2-5a^2&=3 \tag{1} \\
2c^2-13a^2&=11 \tag{2} \\
5c^2-13b^2&=8 \tag{3}
\end{align}$$

Par (3) b et c ont meme parite, par (1) a est impair.
Modulo 8 le carre d'un impair vaut 1, donc par (1) on a:
$2b^2=0~[8]$ ainsi b est pair (et donc aussi c).
Posons $b=2r$, $c=2s$. Par (3): $5s^2-13r^2=2$.
Donc modulo 4 on a : $s^2-r^2=2~[4]$. Mais modulo 4 un carre ne peut valoir que 0 ou 1, c'est donc impossible.

Ainsi le nombre t cherche n'existe pas ! (la solution n'est pas de moi)